[221029] 포물선의 접선과 타원 (정답률 19%)

 

 

 

 

 

 

 

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[ 발문 확인 ] 

 

 

 

정보 1) 포물선의 방정식을 그대로 주었습니다. 초점 거리는 4이므로 F1이 바로 포물선의 초점이 되겠네요. 또한 선분 사이의 관계가 주어져 있는데 선분끼리의 차를 주었으므로 쌍곡선에 관한 문제일 가능성을 염두해 볼 수는 있습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

정보 2) 이런! 쌍곡선이 아닌 타원이네요. 타원의 한 꼭짓점이 선분 PF3 위에 있다는 정보와 두 점 F1, F3을 초점으로 삼는 타원이 존재한다는 것을 알려주네요.

 

 

 

 

 

 

 

그러한 상황 일 때 타원의 장축길이에 관한 값인 a^2을 구하는 것이 우리의 목적입니다.

 

 

 

 

 

 

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[ 풀이 과정 ]

 

 

 

 

Step 1) 포물선 접선 이용

 

포물선의 방정식이 주어져 있으므로 접점 P의 좌표를 (k, 4루트k), 접선의 x절편인 F3의 좌표를 (-k, 0)으로 두고 시작하겠습니다.

 

원점을 꼭짓점으로 삼는 포물선의 접선의 x절편은 접점의 x좌표의 반대부호라는 성질이 있습니다. 그러한 성질을 활용해준다면 아무런 계산 없이 F3의 좌표를 구할 수 있습니다. 물론 접점을 k로 가정하고 접선의 방정식을 직접 구해 x절편을 구해주어도 -k가 나오므로 계산으로 처리해도 엄청나게 큰 손해는 아닙니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 2) 선분 사이의 관계식 활용

 

이차곡선 문제이므로 이차곡선의 성질을 사용해야한다고 생각했지만 점 F1, F2, P는 쌍곡선과 연관짓기가 힘들었습니다. 물론 점 F1, F2를 초점으로 삼고 점 P를 지나는 쌍곡선을 생각해도 되지만 굳이 쌍곡선을 가정하더라도 문제를 푸는데 도움이 되질 않습니다.

 

타원의 성질을 이용해보자니 타원의 초점도 아니죠. 결국 점 P의 좌표를 알고 있고, F3, F1은 전부 x축 위의 점이므로 깡 계산을 때리는 문제였습니다.

 

 

 

점 P의 좌표를 알고 있으므로 점과 점 사이의 거리공식을 이용하여 깡계산을 때려보겠습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

이제 양변을 제곱하여 식을 정리해줍시다.

 

 

 

 

 

 

 

접점 p의 좌표를 구해주었습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 3) 타원의 성질 이용

 

점 F3, F1을 초점으로 삼는 타원의 꼭짓점이 직선 PF3 위에 있다는 정보를 이용합니다. 타원의 대칭성을 활용해준다면, 꼭짓점은 장축 및 초점에 대하여 대칭을 이루게 되므로, 꼭짓점의 x좌표가 -8과 6의 중점인 -2에 위치하게 됩니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 4) 접선의 방정식에 대입

 

접선의 방정식을 완벽하게 알고 있으므로 위의 방정식에 -2를 넣은 y값이 타원의 꼭짓점의 y좌표가 됩니다. 타원의 초점 사이의 거리가 6임을 알고 있으므로 초점과 단축 사이의 관계식을 이용하여 장축의 길이를 구해낼 수 있게 됩니다.

 

 

 

꼭짓점의 y좌표를 구해주었으므로 타원에서 다음과 같은 관계식이 성립합니다.

 

 

 

 

우리가 구하고자 하는 a^2의 값은 54가 되겠네요.

 

 

 

 

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