굉장히 어려운 문제입니다.
가의 조건부터 알아봅시다.
g'(x)는 이와 같이 써줄 수 있습니다.
f'(x) =ㅣxㅣ을 만족하는 서로 다른 x의 개수가 4개가 되어야합니다.
f(0) = 0이므로 x = 0 에서 무조건 실근을 하나 가지므로 대충 이렇게 함수 f(x)를 그려줄 수 있겠습니다.
또한 함수 g(x)는 x = 2, x = 6에서 극값을 가져야 하므로 g'(2) = g'(6) = 0 두 개의 x는 각각 2와 6으로 확정이 됩니다.
대충 이런 상황이라고 보시면 되겠습니다. 서로 다른 4개의 실근을 가지고 g'(2) = g'(6) = 0 을 만족하므로 (가) 조건과 (나) 조건을 모두 만족하게 잘 그렸다고 볼 수 있겠습니다.
마지막 조건인 f(6)과 g(2)이 서로 다른 부호를 가지면 모든 조건을 만족하므로 함수를 확정지을 수 있겠죠?
g(x)의 도함수인ㅣf(x)ㅣ-ㅣxㅣ의 개형입니다.
도함수의 부호를 조사해보면 이와 같이 나오게 됩니다. 빨간 직선인 ㅣxㅣ가 ㅣf(x)ㅣ보다 아래에 위치하면 결국 부호는 양수가 될 것이며, 빨간 직선인 ㅣxㅣ가 ㅣf(x)ㅣ보다 위에 위치하면 부호가 음수가 되겠습니다.
정확하지는 않지만 이를 통해 도함수의 개형을 간략하게나마 그려보면 이처럼 그려지게 되겠죠?
도함수의 개형을 바탕으로 그린 g(x)의 개형입니다. g(0) = 0 이므로 이와 같이 그려줄 수 있게 됩니다.
ㅣf(6)ㅣ과 ㅣxㅣ는 첫 그림에서 양수 구간에서 x와 만났으므로 f(6) = 6이 됩니다. ㅣf(2)ㅣ과 ㅣxㅣ는 첫 그림 상에서 음수 구간에서 -x와 만났으므로 -2가 되겠죠?
그렇게 된다면 f(6) = 6 이지만 g(2)는 그림 상으로 볼 때 양수이므로 결국 마지막 조건과 모순되게 됩니다.
이를 해결하기 위해서는 f(x) = 0에서 ㅣxㅣ 와 접하게 그려야합니다. 0에서 도함수가 접하면 2에서 0보다 작은 극소가 나오게 되므로 하지만 ㅣxㅣ와 x = 0에서 접하기 위해서는 다항함수의 0에서의 미분 계수의 극한이 각각 -1, 1이 되어야 하는데 다항함수로는 이를 만족시킬 수 없으며 만약 만족을 하더라도 서로 다른 실근의 갯수가 3개가 되어버리므로 모순입니다.
이와 같이 작은 순서대로 0,2,6,α 서로 다른 네 개의 실근을 가지는 경우라면 어떨까요? f(x)는 x = 6에서 -x와 만났으므로 f(6) = -6이라고 둘 수 있겠습니다.
ㅣf(x)ㅣ=ㅣxㅣ의 개형입니다.
g(x)의 도함수의 개형이 이와 같이 나오게 됩니다.
이를 통해 g(x)의 개형을 유추해본 결과입니다. 일단 g(2)는 음수인데 반면 f(6) 역시 -6으로 둘 다 음수가 되어서 곱한 결과가 양수가 나오므로 모순입니다.
이번에는 아까 그린 상황과 동일하지만 α와 6의 자리를 바꾼 경우입니다. 방금 상황에서 f(6)이 양수였다면 조건을 만족하므로 α와 6의 자리를 바꿔준다면 뭔가 답인 상황이 나올 것 같죠?
어차피 도함수의 개형은 동일 할 것이고 도함수를 통해 얻어낸 g(x)의 개형도 동일 할 것이기 때문에 g(2)는 여전히 음수지만
x = 6에서는 f(x)와 +x 의 교점이므로 f(6) = 6이 되면서 조건을 만족하게 됩니다.
두 식을 이용하여 연립을 해주는데 함수 f(x)는 미지수가 3개인 다항함수이기 때문에 하나의 식이 더 필요한 상황입니다.
그러므로 함수 f(x)는 x = 0 에서 x와 접한다는 정보를 이용해주겠습니다.
이제 f(8)을 구하면 끝나겠네요.
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