[201130나] -x와 x에 동시에 접하는 삼차함수 구하기 (정답률 2%)

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

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최고차항 계수가 양수라고 조건이 주어졌습니다. 근데 최고차항이 아직 뭔지 모르므로 미지수인 k라고 가정해보겠습니다.
 
 

 
f(x) - x = 0 
f(x) + x = 0
 
두 방정식의 서로 다른 실근의 개수가 2개입니다. 즉 f(x)와 x가 서로 다른 두 점에서 만나며, f(x)와 -x라는 그래프 역시 서로 다른 두 점에서 만난다는 의미입니다.
 
 
 
 
 
 

f(x) - x 라는 함수를 g(x)라고 가정해보겠습니다.
 
 

 
 

f(0) = 0 이므로 f(0) - 0 = 0이 되며 함수 g(x)의 서로 다른 실근 중 하나는 일단 0임이 분명합니다. 
 
 
 
 
 

 

 
함수 g(x)는 서로 다른 두 개의 실근만을 가지므로 둘 중 하나로 가정 할 수 있겠죠?
 
 
 
 
 
 
 
 

 
첫 번째 케이스입니다. g(x)는 서로 다른 두 개의 실근인 a와 0을 각각 가지게 됩니다.
 
       

 
f'(1) = 1 임을 이용해봅시다.
 

 
 
 
 
g'(1)은 결국 f'(1) - 1 이므로 g'(1) = 0 이라는 정보를 알 수 있습니다.
 
 

 
g'(1) = 0 이므로 극댓값 혹은 극솟값의 x좌표가 1이 됩니다.
 
 
 

 
극댓값의 x좌표는 비율 관계를 이용해보면 3분의 a이며, 극솟값은 a이므로
 

 
a = 3 혹은 1 중 하나이면 g'(1) = 0을 만족하게 됩니다.
 
 
 
 

 

 
즉 g(x)는 둘 중 하나가 되겠습니다.
 
 
 
 
 
 

 
f(x) + x = f(x) - x + 2x = g(x)+2x 로 표현해줄 수 있겠습니다.
 

 

 
f(x) + x 라는 함수 역시 서로 다른 두 개의 실근을 가지므로 괄호 안의 식이 중근이 되어야합니다. 결국 k분의 2가 0이 되어야하는데 이를 만족하는 k의 값이 존재하지 않으므로 조건을 만족시키지 못합니다.
 
 
 

 
g(x) = kx(x-1)^2인 경우에도 딱히 상황은 달라지지 않습니다.
 
 

 

 
위의 경우에도 역시 괄호 안의 식이 중근이 되기 위해서는 k분의 2가 0이 되어야합니다. 하지만 이를 만족하는 k의 값은 존재하지 않으므로 모순이죠?
 
 
 

 
즉 정답인 상황은 g(x)가 0에서 중근을 가지는 경우밖에 없게 됩니다. g'(1) = 0임을 다시 한 번 활용해봅시다.
 
 
 

 
즉 위의 함수의 극댓값 혹은 극솟값의 x좌표가 1이 되어야하는데 극댓값의 x좌표는 0이므로 결국 극솟값의 x좌표가 1이어야합니다.
 
 
 

 
비율관계를 다시 한 번 이용해줍니다. 3k = a이므로 극솟값의 x좌표는 2k가 되며, 2k = 1이어야합니다.
 

 

 

 
이제는 (나)의 조건을 만족시키는 k의 값을 구해주면 되겠습니다.
 

 

 

 
g(x) + 2x 라는 함수는 기본적으로 0이라는 실근을 가지며 괄호 안의 식이 중근인 경우 (나)의 조건을 만족 할 수 있게 됩니다.
 

 
판별식을 사용하기 쉽게 하기 위해 괄호 안의 식에 2를 곱해줍니다. 그 이후 판별식을 사용합니다.
 

 

 
판별식을 이용해준다면 k의 값이 이와 같이 나오게 됩니다. 최고차항 k는 양수이어야하므로 k = 9분의 32가 됩니다.
 

이제 f(3)의 값을 구해주면 되겠네요.
 

 

 
 

 
정답은 51이 되겠네요.
 

 
함수 f(x)를 보면 x와 -x라는 두 개의 직선에 각각 접하는 것을 볼 수 있습니다.
 

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