[191130나] 조건을 활용한 함수 확정 및 기울기 범위 구하기 (정답률 4%)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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첫 번째 조건을 한 번 살펴봅시다. 최고차항 계수가 1인 삼차함수는 (0, 0) 에서 접선을 가지며, 최고차항 계수가 -1인 g(x)는 (2,0)에서 접선을 가지는데 두 접선이 y=0이라는 x축입니다. 

 

 

 

이를 그림으로 표현해보면 이와같이 (0, 0) 에 접하는 삼차함수와 (2,0)에서 중근을 갖는 이차함수라는 것을 알 수 있습니다.

g(x)는 최고차항 계수가 -1으로 조건에서 알려줬으므로 함수 g(x)는 확정이 됩니다.

 

 

 

최고차항 계수가 -1이며 (0,2) 에서 x축과 접하는 이차함수는 위의 함수가 유일하므로 g(x)를 구해줄 수 있습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

이번에는 (나) 조건을 활용해봅시다.점 (2,0)에서 f(x)에 그은 접선의 갯수가 2개라는 조건을 알려주었습니다. 어떠한 점에서 함수에 그은 접선의 갯수는 접점을 (t, f(t))로 가정한 뒤 미분을 활용하여 접선의 방정식을 세우고, 이를 만족하는 서로 다른 t의 갯수가 2개가 되도록 미지수의 값을 잘 정해주면 되겠습니다.

 

 

 

 

함수 f(x)는 (0,0) 에서 x축과 접하며 최고차항의 계수가 1이므로 이와 같이 둘 수 있습니다.

 

 

함수 위의 점 (t,f(t))에 접하는 접선의 방정식은 이와 같습니다.

 

 

 

 

f(x)통해 접선의 방정식을 이와 같이 구해주었습니다. 위의 직선이 2,0을 지나므로, x자리에 2를 y자리에 0을 대입하여 t에 관한 삼차방정식을 만들어줍시다. (어떤 점에서 그은 접선의 갯수는 최대 3개이므로 삼차방정식이 나옴)

 

 

 

 

 

 

식을 잘 정리해준다면 이와 같은 식이 나오게 됩니다. 

 

 

 

이를 만족하는 서로 다른 t의 갯수가 2개가 되어야하므로 괄호 안의 식이 중근이거나, a의 값이 0 이어서 t를 중근으로 가지면 서로 다른 t의 값이 2개가 됩니다. 각각 케이스를 나눈 뒤 함수를 구해봅시다.

 

 

 

 

 

 

 

첫 번째 케이스로 괄호 안의 식이 중근을 가지는 경우입니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

a의 값이 2거나 18이면 괄호안의 식이 중근이 되며 서로 다른 접점 t의 값이 2개밖에 나오지 않으므로 (나) 조건을 만족합니다.

 

 

 

 

 

 

 

두 번째 케이스로는 괄호 안의 식이 t라는 인수를 가지는 조건인데, 상수인 -4a가 0이 되면 만족하므로 이때의 a값은 0이 됩니다.

 

 

a = 0 인경우 t = 0에서 중근을 가지며, 3에서 하나의 실근을 가지므로 서로 다른 t의 갯수가 2개가 되는 것을 알 수 있습니다.

 

 

 

(나) 조건을 만족하기 위한 a값의 후보들입니다. 

 

 

 

 

 

구한 a값을 통해 (다)를 만족시키는 a값을 확정지어줍시다. 

 

 

 

 

 

a = 2인 경우입니다. 두 함수가 한 점에서만 만나야하지만 그림 상 서로 다른 두 점에서 만나므로 a = 2라는 후보는 탈락이겠군요.

 

 

 

 

 

 

a = 18인 경우에도 서로 다른 두 점에서 만나게 됩니다. 

 

 

 

 

 

 

 

a = 0인 상황이면 빨간색의 삼차함수의 감소 속도가 이차함수의 감소 속도보다 더 빠르므로 이와 같이 내려가다 만나는 점이 하나 생길 수 있겠죠? 결국 정답인 상황은 a = 0인 상황이었습니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

이제 위의 식을 만족시키는 k값의 범위를 찾아줍시다. 기본적으로 부등식의 범위가 x > 0인 모든 실수 x이므로 0보다 큰 쪽만 고려하면 되겠습니다. 

 

함수 kx-2는 0, -2를 지나는 기울기가 k인 직선이라는 점을 활용해줍시다. 

 

 

 

 

이와 같이 보라색 직선인 kx-2가 빨간 함수와 파란 함수 사이에 존재하면 됩니다. 등호가 붙어있으므로 접할 때 까지 인정이므로

점 (0, -2)를 지나는 직선이 각 각의 함수와 접하는 기울기를 구해줍시다.

 

 

 

 

x^3과 접하고, 0,-2를 지나는 접선의 접점을 구해줍니다.

 

 

접점의 x 좌표는 1이므로 1에서의 접선의 기울기인 f'(1) = 3이 되겠습니다. 

 

 

 

 

 

이와같이 빨간 함수에 접하는 접선의 방정식이 3x-2이므로 k의 최댓값은 3이 됩니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

이를 만족시키는 t의 값이 두 개가 나오게 되는데, x > 0 인 모든 실수이므로 양수일 때의 접점을 구해야겠죠?

 

 

 

 

기울기인 k가 4-2루트2인 경우 이와 같이 파란 함수에 접하게 됩니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

즉 이 범위 안에 들어오는 모든 기울기에 대해 부등식을 만족시키므로 k의 범위는 이와 같이 구해줄 수 있게 됩니다.

 

 

 

 

 

a = 1

b = 2 이므로 정답은 1+4 = 5가 되겠습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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