[231120] 극한으로 정의된 함수의 미분가능성 (정답률 15%)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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주어진 세 가지의 조건을 활용하여 함수를 구해주어야 하는 과정입니다. 일단 함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 미분이 가능하다는 것을 알려주었습니다. 보통 미분가능하다는 것을 알려주는 이유는 f(x)가 실수 전체에서 연속임을 추가적으로 알려주는 것이므로 이를 잘 활용하여 f(x)를 구해주어야겠습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

무엇을 구해줘야 하는지는 결국 1에서 2까지의 함수 f(x)를 구해주면 되겠습니다. 1부터 2 구간에서의 함수 f(x)를 어떻게든 잘 구해봅시다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(가) 조건을 통해 [0,1] 범위에서의 f(x) = x 라는 것을 알 수 있습니다. 하지만 우리는 [1,2] 범위에서의 함수를 구하고싶습니다. 여기서 (나)의 조건을 활용해주어야 합니다.

 

 

 

식이 많이 복잡하죠? 합성함수에다가 xf(x)까지 아주 난잡합니다. 결국 우리가 원하는 것은 함수 f(x)를 구하는 것이므로 식 조작을 통해 f(x)를 구해봅시다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

항등식을 적절히 이항해줍니다. 

 

 

양변을 x로 나눠주면 f(x)를 구해줄 수 있습니다. 이와 같이 정의한다면 기본적으로 f(x)는 x = 0에서 함숫값이 존재하지 않는 불연속 함수가 되는데, 함수 f(x)는 실수 전체 집합에서 미분이 가능하므로 연속이며 결국 f(0)의 값이 존재하고 f(0)의 값이 위의 함수 f(x)의 0에서의 극한값과 동일해지겠습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

양 변에 극한을 위와 같이 씌워도 어차피 f(x)는 연속이므로 lim f(t)를 그냥 f(x)로 바꿔줄 수 있게 됩니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x에 0을 대입하여 t를 0으로 보내봅시다. f(0) = 0이므로 함수의 분모가 t^2이라는 인수를 가져야합니다.

 

 

1 보다 큰 범위에서의 f(x)는 최소 이차함수인 다항함수가 되겠네요. 

 

 

구해준 함수에 0을 대입한다면 이와 같은 식을 얻을 수 있고 f(x)는 [0,1] 구간에서 x라는 함수 즉 f(1) = 1이므로 b = 1이 되겠습니다.

 

이제 함수 f(x)가 실수 전체 집합에서 미분가능하다는 것을 적극적으로 활용해줍니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

곱의 미분법을 활용해준다면 구해놓은 식의 양변을 미분해 줄 수 있게 됩니다. t^2Q(t)는 t^2을 인수로 가지므로 함수 전체를 미분한 도함수는 t를 인수로 가지게 됩니다. 

 

 

 

 

f'(x) = 1, 즉 f'(1) = 1이라는 점을 이용해줍니다. 그렇다면 위의 식에 0을 대입해준 식에서 a의 값을 구해줄 수 있게 됩니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xf(x)는 [0,1]이라는 구간에서는 x^2이 됩니다. 즉 f(x+1)은 [0,1] 구간에서 1만큼 더한 [1,2] 구간 에서의 함수가 됩니다. 

 

 

 

 

[0,1]구간에서의 f(x+1)의 함수입니다. [0,1]구간에서의 x+1이므로 결국 위의 이차함수가 [1,2]구간에서의 함수 f(x)와 동일하죠?

 

 

 

 

 

 

즉 우리가 구하고자 한 값을 이와 같이 바꿔줄 수 있습니다.

 

 

 

 

 

 

 

이후 잘 메차쿠차해서 답을 구해주면 110이 되겠습니다.

 

 

 

 

 

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