[240514] 접선의 방정식을 통한 새로운 함수 정의 (정답률 28%)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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최고차항의 계수가 1인 삼차함수입니다. 

 

 

 

 

 

 

 

일단 g(t)부터 구해줍시다. ( t, f(t) )에서의 접선의 y절편이 g(t)이므로

 

 

 

 

 

점 t, f(t) 에서의 접선의 방정식을 구해준 뒤, 접선의 y절편을 구하기 위해 x에 0을 대입해줍니다.

 

 

 

 

 

 

 

점 t, f(t) 에서의 접선의 y절편인 g(t)라는 함수는 이와 같이 표현을 해 줄 수 있습니다.

 

 

 

 

 

 

 

위의 조건을 해석하는 것이 문제를 해결하는 결정적인 부분입니다. 

 

절댓값이 씌워진 두 함수를 더해서 0을 만족하기 위해서는 f(k)와 g(k)가 각각 0이어야만 합니다. 

 

 

 

두 함수 전부 0보다 항상 큰 값을 가지므로 두 함수의 값이 0이 되어야만 조건을 만족할 수 있겠죠.

 

함수의 개형을 한 번 그려볼까요? f(t) = 0 은 최소 2개 이상의 실근을 가져야합니다. f(t) = 0이라는 그래프가 실수 전체 집합에서 단 하나만의 실근을 가지게 된다면 애초에 ㅣf(k)ㅣ+ㅣg(k)ㅣ = 0 을 만족하는 실수 k의 개수가 1개 혹은 0개가 되므로 모순이 되겠죠.

 

 

 

즉 삼차함수 f(t)는 최소 2개 이상의 실근을 가져야 하므로 극대와 극소를 전부 갖는 함수입니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

첫 번째로 f(t) = 0이 서로 다른 세 개의 실근을 가지는 경우입니다.

 

 

 

 

이를 만족하는 k의 후보가 3개가 나오게 됩니다. 이제 이 후보 k1,k2,k3 중 g(k) = 0을 만족시키는 실수 k의 갯수가 2개가 되도록 설정하면 되겠습니다. 

 

 

함수 g(t) = 0을 만족하기 위해 t에 k1,k2,k3을 대입해보겠습니다.

 

 

 

 

 

 

k1 에서의 미분계수는 0이 아니므로 결국 g(k1)의 값은 0이 될 수 없습니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

k1, k2, k3 전부 미분계수가 0이 되지 않으므로 실수 전체 집합에서 ㅣf(k)ㅣ+ㅣg(k)ㅣ = 0 을 만족시키는 실수의 갯수는 0개가 되버립니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

즉 함수 f(t) = 0 이 실수 전체 집합에서 2개의 실근을 가질 때가 답인 상황입니다.  

 

이와 같이 k2에서 중근을 가지게 되면 g(k2) = 0 - 0 = 0을 만족시키게 됩니다.

 

실수 전체 집합에서 ㅣf(k)ㅣ+ㅣg(k)ㅣ = 0 을 만족시키는 실수의 k의 갯수가 2개가 되어야 하는데 결국 g(k1) = 0 역시 만족시켜야합니다.

 

 

 

f(k1) = 0 이므로 k1f'(k1)의 값 역시 0이 되어야만 위의 식을 만족할 수 있습니다. k1에서의 미분계수인 f'(k1)의 값은 0이 아니므로 k1 = 0 인 경우일 때 위의 식이 성립되겠네요.

 

 

 

 

 

 

 

 

즉 함수 우리가 구하고자 했던 f(t)는 이와 같이 표현할 수 있게 됩니다.

 

 

 

곱의 미분법을 이용하여 f'(t)를 구해주고

 

 

 

구해준 f'(t)를 이용하여 g(t)를 구해줍니다. 

 

 

 

 

 

 

이제 마지막 조건을 활용하여 k2의 값을 구해줍니다.

 

 

 

z

 

 

2k2 = 1이므로 k2 = 2분의 1이 되겠습니다.

 

 

 

 

 

정답은 49 즉, 2번이 되겠네요.

 

 

 

 

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