[250610] sin의 비율을 이용한 삼각형의 넓이 구하기 (정답률 42%)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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문제의 결이 여태까지 나온 삼각함수의 도형 활용과는 약간 결이 다릅니다. 도형이 그림으로 제시되지도 않았고, 조건들을 sin값과 cos값들 사이의 관계로 주어졌기 때문입니다,

 

 

 

 

일단 삼각형 ABC의 외접원 반지름의 길이에 대한 정보를 외접원의 넓이를 알려줌으로서 제공해줬습니다. r = 3이 되겠죠?

 

 

 

 

 

 

(가) 와 (나) 조건을 활용하여 삼각형 ABC의 넓이를 구해주어야합니다. 일단 sin값 간의 관계가 이와 같이 제시가 되었습니다.

 

 

 

 

삼각형 ABC의 외접원의 반지름을 알고있으므로 사인법칙을 활용해주겠습니다.

 

 

\

 

이와 같이 주어진 (가) 조건을 통해 sin A와 sin B값 사이의 관계식을 얻어 낼 수 있습니다. 변의 길이를 모르므로 이와 같이 미지수 k를 활용하여 sin값 사이의 관계를 표현해줍시다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin 값 사이의 비율관계를 통해 변 a와 b의 길이 비율을 얻어낼 수 있게 됩니다. 

 

 

 

 

 

이제 (나)의 조건을 잘 확인해봅시다. 기본적으로 삼각형에서 세 내각의 합은 180도 즉 π에 해당합니다.

 

 

 

cosx 라는 함수는 0 < x < π 구간에서 일대일 대응인 함수이므로 cosB = cosC 를 만족하기 위해서는 각이 서로 완벽하게 동일해야합니다. 

 

물론 일반적으로는 cos B = cos C를 만족하는 서로 다른 B와 C가 무수히 많이 존재하지만,

삼각형의 내각의 합이 π 이므로 0 < B+C < π 를 만족시키는 서로 다른 B와 C가 존재하지 않다는 이야기입니다.

 

 

 

 

(나) 조건에 의해서 삼각형 ABC는 B와 C의 각이 동일한 이등변 삼각형이 되며, 그 때의 변 c의 길이는 b의 길이인 18k와 같아집니다.

 

 

삼각형 ABC는 각 B와 C가 같은 이등변삼각형이므로 A에서 수선의 발을 내리면 이와 같이 삼각형 ABC를 수직 이등분하게 됩니다.

 

 

 

 

삼각형 ABC의 절반을 쪼개보시면 빗변과 밑변의 비율이 1:3 인 직각삼각형이 만들어집니다.

 

1 + 8 = 9 즉 AA'의 길이는 2루트2 x 6 = 12루트2가 되겠습니다.  

 

이와 같이 직각삼각형의 세 변의 길이의 비율을 알고있다면 삼각비를 사용해서 sin B의 값을 구해줄 수 있겠습니다.

 

 

 

이제 k의 값을 구해주었으니 사인을 이용하여 삼각형 ABC의 넓이를 구해봅시다.

 

 

삼각형의 넓이공식은 2분의1 acsinB이므로 위의 식을 계산해보면

 

 

정답은 5번이 되겠습니다.

 

 

 

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