비주얼이 꽤나 무섭게 생겼지만 정작 풀어보면 쉬운 문제입니다.
일단 tan 함수의 주기부터 조사해봅시다. 함수의 최대 최소는 tan함수에서 존재하지 않으므로 어차피 의미가 없고 평행이동도 딱히 없으므로 주기만 조사하면 되겠습니다.
주기는 π를 a분의 π로 나눈 것이므로 결국 주기는 a가 되겠습니다.
A에서 C까지 한 주기만큼 떨어져있으므로 선분 AC의 길이는 결국 주기인 a가 되겠습니다. 정삼각형의 성질을 이용해준다면 세 변의 길이가 같다는 것을 알 수 있습니다.
여기서 주의깊게 봐야하는 점은 바로 선분 AB가 원점을 지나는 직선이라는 점입니다.
tan 함수는 평행이동이 없다는 가정 하에 원점 대칭 함수이므로 두 직각삼각형은 완벽히 합동이 되며, 점 A와 B의 중점의 좌표는 (0,0)이 되겠습니다.
삼각형 ABC는 정삼각형이므로 높이를 쉽게 구해줄 수 있습니다.
점 A, B의 좌표를 이와 같이 구해줄 수 있게 됩니다.
정삼각형의 세 각은 전부 60도로 동일하다는 특징을 활용해볼까요?
특수각 60도인 직각삼각형은 이러한 비율을 만족시킵니다. 즉 우리는 선분 AB의 기울기를 곧바로 구해줄 수 있습니다.
직선 AB의 방정식입니다. 원점을 지나고 기울기가 루트3 인 직선이죠.
직선 AB가 점 B를 지나므로 직선에 좌표를 대입해줍니다.
B의 x좌표를 구했으므로 함수에 대입해줍니다.
점 B의 y좌표는 1이 되겠습니다.
또한 위의 식을 통해 a의 값을 구해줄 수 있습니다.
결국 우리가 구하려는 정삼각형 ABC의 넓이는 밑변 x 높이이므로
정답은 3번이 되겠네요 !
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