일단 sin함수와 직선의 교점에 관한 문제입니다. 발문을 하나하나 분석해봅시다.
1) a, b는 자연수이며 5 이하여야함.
a = 1,2,3,4,5
b = 1,2,3,4,5
2) sin함수는 열린구간 (0, 2π) 에서 정의되었으며, x축 평행이동이 되어있지 않고 주기가 2π이므로 그냥 sin함수를 0부터 2π까지 한 주기만큼 그려주면 되겠습니다.
3) 일단 교점에 대한 정보를 집합을 이용하여 표현해주었습니다. A, B, C의 원소 갯수를 합한게 3이 되어야하며, 중복되는 원소는 한 번만 카운팅한다는 점을 알고있으면 편하겠습니다.
그럼 sin함수를 그려봅시다. 기본적으로 a, b 둘 다 자연수이므로 양수, 즉 이와 같이 그려줄 수 있습니다.
최댓값 = a+b
최솟값 = a-b
x축 대신 y = b를 넣어주면 되겠습니다.
A의 원소는 (π, b) 하나로 고정되어있습니다. 이제 점 B와 C의 원소 갯수의 합이 2개를 만족하거나, 3개를 만족하더라도 나머지 1개가 (π, b)와 중복원소라면 어차피 세지 않으므로 2개가 될 수 있습니다.
1) b ≠ 1, 3
y = 3이 이와 같이 b-a < 3 < a+b 인 경우입니다. b = 3 인 경우를 제외하면 y = 3과 곡선은 두 개의 서로 다른 교점을 가지므로 C의 원소 갯수는 2개가 되므로 이미 서로 다른 원소 갯수의 합은 3이다. 를 만족하게 됩니다.
즉 나머지 y = 1이라는 직선은 sin함수와 만나지 않거나, 만나더라도 b = 1인 경우여야지 조건을 만족할 수 있습니다. (b = 1인 경우, 결국 B의 원소는 A의 원소와 동일해지므로 원소의 갯수로 카운트 되지 않음)
y = 1 은 당연하게도 y = 3 보다 아래에 있으므로 y = 1이 최솟값인 b-a보다 작다, 1 < b-a 를 이용해줍시다.
1 < b-a < 3 < a+b
a와 b는 전부 자연수이므로 b-a는 정수가 됩니다. 이 부등식을 만족하기 위한 정수 b-a의 값은 2밖에 없으므로
b - a = 2
b = a+2
a,b의 순서쌍 (2, 4), (3, 5) (1,3 역시 만족하지만 b = 3인 경우이므로 제외)
두 번째로 y = 1이 서로 다른 두 점에서 만나는 경우입니다. 이 역시 y = 3은 y = b 혹은 a+b < 3 를 만족하여 y = 3이 아무런 교점을 만들지 않는 경우가 답이 됩니다.
b-a < 1 < a+b (b ≠ 1)
a+b < 3
1 < a+b <3
a+b = 2인 경우밖에 없겠군요.
이 조건을 만족시키기 위한 a, b의 순서 쌍을 구해봅시다.
a,b (1 , 1) 이것밖에 없겠습니다. 하지만 이 경우에서는 b = 1이므로 조건을 만족 할 수 없습니다.
b = 3 인 경우입니다.
b-a < 1 < 3 를 만족해야하므로
a, b의 순서쌍은 (3 ,3), (4, 3), (5, 3) 이 가능해집니다.
b = 1인 경우입니다.
1 < 3 < a+b 을 만족해야하므로
a, b의 순서쌍은 (3 ,1), (4 ,1), (5 ,1)가 가능하겠네요.
b-a = 1, b+a = 3인 경우 역시 조건을 만족합니다. 2b = 4 즉 b = 2이며, a = 1인 경우 위의 조건을 만족하므로
a,b (1, 2)
a,b의 순서쌍입니다. (1 ,2), (2, 4), (3, 5), (3 ,3), (4, 3), (5, 3), (3 ,1), (4 ,1), (5 ,1)
a+b의 최댓값은 5+3 = 8
a+b의 최솟값은 1+2 = 3
8x3 = 24
'수학 Ⅰ 기출분석 > 삼각함수' 카테고리의 다른 글
| [230714] 반원과 내접하는 사각형 [정답률 37%] (0) | 2026.03.23 |
|---|---|
| [251114] 삼각함수의 도형에서의 활용 + 최댓값 구하기 (정답률 38%) (0) | 2026.02.14 |
| [250610] sin의 비율을 이용한 삼각형의 넓이 구하기 (정답률 42%) (0) | 2026.02.12 |
| [231111] tan x 함수 위의 삼각형 넓이 구하기 (정답률 52%) (0) | 2026.02.06 |
| [261114] 삼각함수의 도형 활용 (정답률 47%) (1) | 2026.01.19 |