[230714] 반원과 내접하는 사각형 [정답률 37%]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

[ 풀이 과정 ]

 

 

 

 

 

 

 

Step 1) ㄱ. 참, 거짓 판단 

 

 

 

$$ \sin{\left ( \angle CBA  \right )}=\frac{4\sqrt{10}}{14}=\frac{2\sqrt{10}}{7}$$

 

ㄱ.은 참입니다. 선분 AB를 지름으로 하는 원 위의 점 P에 대하여 $\angle APB = \frac{\pi}{2}$를 만족하기 때문이죠

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 2) ㄴ. 참, 거짓 판단

 

 

 

 

$ \cos{\left ( \angle CBA  \right )}=\frac{3}{7}$, $ \cos{\left ( \angle CDA  \right )}=-\frac{3}{7}$이므로 이를 이용하여 코사인 법칙을 사용하라는 것이죠?

 

$\overline{AD}=k$

 

$$160=49+k^2+2\times 7\times k\times \frac{3}{7}$$

 

$$k^2+6k-111=0$$

 

$$k=-3\pm 2\sqrt{30}$$

 

$k\neq -3- 2\sqrt{30}$, $k= -3+ 2\sqrt{30}$ k는 길이임으로 음수가 나오면 안되겠죠?

 

ㄴ 역시 참입니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 3) ㄷ. 참, 거짓 판단

 

삼각형 ABC는 고정된 넓이를 가지므로 ACD의 넓이가 최대가 되는 상황이 바로 사각형 ABCD의 넓이가 최대가 되는 상황입니다. 즉 D'에서 선분 AC의 내린 수선의 발의 길이 즉, AC를 밑변으로 하는 삼각형 ACD의 높이가 최대가 되는 상황이 삼각형 ACD의 넓이가 최대가 되는 상황입니다. 

 

또한 점 D에서 내린 수선의 발이 AC를 수직이등분 하기 때문에 삼각형 ACD는 이등변삼각형입니다. 

 

 

 

 

즉 다음과 같은 생각을 할 수 있습니다. 삼각형 ACD의 높이는 반지름인 7에서 l만큼의 길이를 뺀 값이겠죠?

 

 

 

 

삼각형 AOH와 ABC는 닮음이며 그 비율이 1:2이므로 OH의 길이는 3, D'H의 길이는 4가 됩니다.

 

$$S_2=8\sqrt{10}$$

즉 삼각형 ACD'의 최댓값을 다음과 같이 구해 줄 수 있습니다.

 

$$S_1+S_2=8\sqrt{10}+12\sqrt{10}=20\sqrt{10}$$

ㄷ 역시 참입니다. ㄱ,ㄴ,ㄷ가 모두 참이므로 정답은 5번이 되겠습니다. 

 

ㄱ,ㄴ은 솔직히 너무 쉬웠는데 ㄷ의 참, 거짓을 판단하는 난이도가 괴랄했습니다.