[270314] sin, cos그래프 개형 추론 [정답률 38%]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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[ 풀이 과정 ]

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 1) $ 0\leq x< \pi $, $\pi \leq x\leq 2\pi$  에서의 그래프 추론

 

$x=\pi$에서 $3\sin{x}$가 정의되어있지 않다는 점이 매우 중요했던 정보입니다. 일단 $ 0\leq x< \pi $ 에서는 y축 방향으로의 확대밖에 없으므로 그래프의 개형을 그리기 쉽습니다.

 

 

이제 $\cos{x}$의 그래프를 그려주어야하는데 a의 값이 음수인지 아닌지, b의 값에 따라 개형이 천차만별으로 달라지게 됩니다.

 

 

 

$f(x)=f(t)$를 만족하는 모든 x의 값의 합이 $\frac{7}{4}\pi $가 되어야 합니다. 

 

 

 

만약 t의 위치가 지금처럼 그어진다면 이미 실근 들의 합이 $x_1+x_2=\pi $가 되어버립니다. 즉 $\pi$보다 큰 구간에서 나머지 실근인 $x_3=\frac{3}{4}\pi $가 나와야 하는데 $x_3=\frac{3}{4}\pi $은 $\pi$보다 작으므로 모순이 되어버립니다.

 

(참고 : $\cos{x}$는 $\pi \leq x\leq 2\pi$  범위에서 일대일 대응 함수이므로 1개의 추가적인 실근밖에 가지지 못함.)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

즉 다음과 같이 $x_1= \frac{\pi }{2}$, $x_2= \frac{5}{4}\pi$인 경우 모든 x의 값의 합이 $\frac{7}{4}\pi$를 만족 할 수 있겠네요.

 

또한 각각의 $x_1,x_2$가 $t_1,t_2$가 되므로 이를 만족하는 t의 갯수는 현재까지 2개가 됩니다.

 

이제 이를 만족하는 t가 2개 더 나와야 정답을 구할 수 있습니다. 하지만 앞서 말 했듯이 $0<t<3$ 범위에서는 모순이었으므로 $t\geq 0$ 범위에서 나머지 실근이 나오게 됩니다.

 

 

 

 

t의 값이 음수인 경우 다음과 같이 t와 코사인 그래프의 교점인 $x_3= \frac{7}{4}\pi$를 만족해야합니다. 실근이 하나밖에 없으므로 모든 실근의 합은 결국 그냥 $x_3$일 뿐이죠. 

 

하지만 이와 같은 상황이라면 만족하는 실수 t의 갯수가 3개가 된다는 모순이 생깁니다. 코사인 그래프는 앞서 말 했듯이 일대일 대응인 함수이므로 지금 이 상황이 모든 실근의 합이 $\frac{7}{4}\pi$가 되는 유일한 상황입니다. 

 

 

 

 

하지만 아주 고맙게도 $x=\pi$에서 $3\sin{x}$가 정의되어있지 않으므로 t = 0인 경우 코사인 그래프와의 교점이 $\frac{7}{4}\pi$를 만족하게 된다면 만족하는 t의 갯수가 4개를 만들어 낼 수 있습니다.

 

 

$$a\cos{\frac{5}{4}\pi }+b=3$$

$$a\cos{\frac{7}{4}\pi }+b=0$$

 

즉, 다음과 같은 두 개의 관계식을 얻게 되며, 전부 특수각이므로 다음과 같이 관계식을 만들어 낼 수 있습니다.

 

 

 

$$-\frac{a\sqrt{2}}{2}+b=3$$

$$\frac{a\sqrt{2}}{2}+b=0$$

 

두 식을 이제 연립하여 a와 b를 구해줍니다.

 

$b=\frac{3}{2}$, $\frac{a\sqrt{2}}{2}=-\frac{3}{2}$, $a=-\frac{3}{\sqrt{2}}$

 

$$a^2+b^2=\frac{9}{2}+\frac{9}{4}=\frac{27}{4}$$