[260714] 삼각함수 도형에서의 활용 (정답률 31%)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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[ 풀이 과정 ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 1) 그림상에 길이 정보 표현

 

 

 

 

일단 BP는 원의 지름이 됩니다. 그 이유는 $\overline{OB}$와 $\overline{AB}$가 서로 수직을 이루기 때문입니다. 원의 중심에서 접점을 연결한 직선과 접선은 서로 수직을 이루므로 직선 $\overline{OB}$는 원의 중심을 지날 수 밖에 없는 것이죠. 

그러므로 BQP는 직각삼각형입니다.

 

또한 $\sin\alpha$와 $\sin\beta$은 각각 삼각형 BQP, BQC에 대한 각이며 두 삼각형은 전부 동일한 외접원을 가지고 있으므로 마주보는 변끼리의 비율이 3:1이 되어야 합니다.

 

 

 

 

 

직각삼각형 ABP에서 AP의 길이를 구해 줄 수 있겠죠?

 

$\overline{AP}^2=144+72=216$, $\overline{AP}=6\sqrt{6}$

 

또한 직각삼각형 ABP에서 모든 변의 길이를 알고 있으므로 $\sin\alpha$, $\cos\alpha$ 역시 구해 줄 수 있겠네요.

 

$\sin\alpha=\frac{12}{6\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$, $\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}$

 

이제 $\sin\alpha$와 직각삼각형 BQP을 이용하여 $\overline{BQ}$의 길이를 구해줍니다.

 

$$\sin\alpha=\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{k}{2\sqrt{2}}$$

 

$$3k=4\sqrt{3}$$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 2) 코사인 법칙 사용

 

$\angle {QCB}=\alpha $가 됩니다. (동일한 현 BQ에 대한 원주각)

 

여기서 코사인 법칙을 이용하여 $\overline{BC}$의 길이를 구해 낸 뒤에 $\sin\alpha$를 이용하여 삼각형 BQC의 넓이를 구해주면 되겠네요.

 

$$\overline{BC}=k$$

 

$$48=\frac{16}{3}+k^2-\frac{8}{3}k$$

 

$$3k^2-8k-128=0$$

 

$$\left ( 3k+16 \right )(k-8)=0$$

 

$$k=8,[0<k]$$

 

 

이제 사인을 이용하여 삼각형의 넓이를 구해줍니다.

 

$$\triangle {BQC}=\frac{1}{2}\times 8\times \frac{4\sqrt{3}}{3}\times\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{16\sqrt{2}}{3}$$

 

정답은 2번이 나오겠네요.