[241113] 사인, 코사인법칙 도형에서의 활용 [정답률 41%]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

[ 풀이 과정 ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 1) 구하려는 값에 대한 정보를 알고 들어가기

 

일단 구하려는 목적이 무엇인지 파악하고 가는 것이 훨씬 유리했던 문제입니다. 원에 내접하는 삼각형의 하나의 각이 분모에 들어가있고, 외접원의 반지름이 분자에 들어가있습니다. 사인 법칙을 많이 사용해보았던 학생들이라면 직감적으로 사인 법칙과 관련 있는 수식이겠구나 파악이 가능했을 겁니다.

 

$\sin{\angle {ADC}}=\sin\theta $

 

$\frac{\overline{AC}}{\sin\theta }=2R$

 

$\frac{\overline{AC}}{2\sin^2\theta }=\frac{R}{\sin\theta }$

 

$\frac{\overline{AC}}{2\sin^2\theta }$ 이 친구를 바로 구하면 되겠네요.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 2) $\overline{AC}$ 구해내기 (코사인 법칙 활용)

 

 

$13=k^2+9-3k$

 

$k^2-3k-4=0$

 

$(k-4)(k+1)=0$, $k=4$ $[k>0]$

 

$\overline{AC}=4$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 3) 사인법칙을 이용하여 $S_1$, $S_2$의 넓이 구해내기

 

$S_1=\frac{1}{2}\times 3\times 4\times \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$

 

$S_2=\frac{5}{6}S_1$

 

$S_2=\frac{5\sqrt{3}}{2}$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 3) 사인법칙을 이용하여 $\sin\theta$ 구하기

 

 

$\overline{AD}=a$, $\overline{CD}=b$, $ab=9$

 

$S_2=\frac{ab}{2}\times \sin\theta$

 

$\frac{5\sqrt{3}}{2}=\frac{9}{2}\times \sin\theta$

 

$\sin\theta=\frac{5\sqrt{3}}{9}$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 4) $\frac{2}{\sin^2\theta }$ 구해내기

 

 

$$\frac{2}{\sin^2\theta }=2\times \left ( \frac{9}{5\sqrt{3}} \right )^2=2\times \frac{27}{25}=\frac{54}{25}$$

 

 

Step 1) 에서 구하려는 값을 미리 구해놓고 가지 않았다면 귀찮게 다시 한 번 사인법칙을 이용하여 R의 값을 구하는 과정을 거쳐야 했습니다. 문제를 푸는데엔 아무런 지장이 없지만 약간의 계산 과정이 추가되는 것이죠.

 

정답은 1번이 되겠습니다.