[241119] 사인함수와 축대칭 [정답률 25%]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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[ 풀이 과정 ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 1) 함수 $f(x)$ 분석

 

함수 $f(x)$가 좀 헷갈리게 나왔습니다.

 

$f(x)=\sin\left ( \frac{\pi x}{4} \right )$ 즉, 주기가 8인 사인함수인지 아니면 $f(x)=\sin\frac{\pi}{4}x$ 즉, 기울기가 $\frac{\sqrt{2}}{2}$이고 원점을 지나는 일차함수인지 헷갈리는 상황입니다.

 

 

하지만 x의 범위가 $0<x<16$으로 정해져있네요. 결국 이는 주기가 8인 사인 함수와 관련있잖아요? 그냥 주기가 8인 사인함수라고 치고 갑시다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 2) 다음 조건을 만족시키는 모든 자연수 x의 값 구하기

 

 

$\sin\left ( \frac{\pi x}{4} \right )$는 $x = 2$에 대한 선대칭 함수입니다. x에 1을 대입해보면 $f(3)f(1)<\frac{1}{4}$, x에 2를 대입해보면 $f(4)f(0)<\frac{1}{4}$ 

 

즉 $x=2$에 대하여 대칭이므로 $f(2+x)=f(2-x)$이며, 결국 가능한 $f(2+x)f(2-x)$의 값은 $f^2(2+x)$ 혹은 $f^2(2-x)$의 값이 되겠네요.

 

$f(2+x)f(2-x)$에서 자연수 x를 대입하여 만들 수 있는 가능한 값은 $0$, $1$, $\frac{1}{2}$이 되겠네요.

 

결국 조건을 만족하기 위해서는 $f(2+x)f(2-x)=0$을 만족하는 경우만 되겠습니다.

 

 

 

 

$f(2+x) f(2-x) =0$을 만족하기 위해서는 다음과 같습니다.

 

$2+x=4,8,12,16$, $x=2,6,10,14$

 

$2-x=-4, -8, -12, -16$, $x-2=4, 8, 12, 16$, $x=6,10,14$ 

 

6, 10, 14는 중복이므로 가능한 $0<x<16$ 범위 내에서 나올 수 있는 모든 x값은 2, 6, 10, 14 총 4개가 나오게 됩니다.

 

$2+6+10+14=32$ 정답은 32가 되겠네요.