[260614] 사인법칙과 코사인법칙 [정답률 40%]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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[ 풀이 과정 ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 1) $\overline{BP}$, $\overline{PQ}$, $\overline{QC}$를 k를 통해 표현하기

 

비율 관계를 발문에서 주었으니 다음과 같이 그림 상의 변의 길이들을 k에 관한 비례식으로 표현이 가능합니다. $\overline{BC}$를 5:1로 내분하는 점이 Q이므로 $\overline{BQ}$ = 5k, $\overline{QC}$ = k라고 두게 된다면, $\overline{BP}$= $\overline{PC}$=$\frac{\overline{BC}}{2}$ 이므로 다음과 같이 각각 3k, 2k, k로 표현이 가능해집니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 2) 사인 법칙 이용, 2k 구해내기

 

$$\sin\alpha :\sin\beta =\sqrt{2} :3$$

 

삼각형 APQ는 동일한 외접원을 공유하므로 변의 길이의 비율과 동일해집니다. (사인 법칙을 직접 사용하여 구해내도 무방)

 

$$2k :3\sqrt{2} =\sqrt{2} :3$$

 

$6k=6$, $k=1$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 3) 마주보는 변 끼리 코사인 법칙 이용

 

$\overline{AP}=a$로 두게 된다면, a는 삼각형 ABP와 APQ의 공통변이므로 양 쪽에서 코사인 법칙을 이용하여 $\cos\beta$를 소거하는 방법으로 $ \overline{AP}$의 길이를 구해 낼 수 있습니다.

 

 

$$28=a^2+9+6a\cos\beta $$

 

$$18=a^2+4-4a\cos\beta $$

 

$a\cos\beta$를 소거하기 위해 계수를 맞춰주어야 합니다. 6과 4의 최소공배수는 12이므로 $6a\cos\beta$가 포함된 첫 번째 식에 2를 곱해주고, $-4a\cos\beta$가 포함된 두 번째 식에 3을 곱해준 뒤 서로 더해주면 소거가 되겠네요

 

 

$$56=2a^2+18+12a\cos\beta $$

 

$$54=3a^2+12-12a\cos\beta $$

 

$$110=5a^2+30$$

 

$a^2=16$, $a=4,[a>0]$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 3) $\cos\theta$를 이용하여 코사인법칙 두 번 사용하기

 

일단 삼각형 APB에서 코사인법칙을 이용하여 $\cos\theta$의 값을 구해 낸 뒤, 삼각형 ABC에서 코사인법칙을 이용하여 $\overline{AC}$의 길이를 구해냅니다.

 

어차피 $\sin\theta$역시 $\cos\theta$를 구해내면 자동으로 구해지므로 삼각형 ABC에서 사인법칙을 사용하여 외접원의 반지름을 구해주면 되겠네요.

 

 

$$16=9+28-12\sqrt{7}\cos\theta$$

 

$\frac{21}{12\sqrt{7}}=\cos\theta$, $\frac{\sqrt{7}}{4}=\cos\theta$, $\frac{3}{4}=\sin\theta$

 

 

 

이제 다시 한 번 삼각형 ABC에서 코사인법칙을 이용해줍니다.

 

$$\overline{AC}^2=36+28-24\sqrt{7}\times \frac{\sqrt{7}}{4}$$

 

$\overline{AC}^2=22$, $\overline{AC}=\sqrt{22}$

 

 

 

마지막으로 사인법칙을 이용하여 삼각형 ABC의 외접원의 반지름을 구해줍니다.

 

$\frac{4\sqrt{22}}{3}=2R$, $\frac{2\sqrt{22}}{3}=R$, $R^2\pi =\frac{88}{9}\pi $

 

정답은 2번이 되시겠네요.