[250529] 원과 쌍곡선의 기하적 해석 (정답률 25%)

 
 
 
 
 
 
 

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[ 발문 확인 ]

 
 
 

 
정보 1) OF = OP 라는 중요한 정보를 먼저 얻어갑니다.
 
 
 
 
 

 
정보 2) 세 점 P, F', Q를 지나는 원의 넓이가 25π 즉, 반지름이 5라는 의미이죠? 또한 F'Q와 FQ간의 비율관계 역시 매우 결정적인 정보이므로 가져갑시다.
 
문제에서 요구하는 것은 초점과 선분 PF의 길이를 구하라고 하네요.
 
문제 자체가 굉장히 심플하고 기본기를 요구하는 문제이므로 정보량이 그리 많지 않습니다.
 
 
 
 
 
 

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[ 풀이 과정 ]

 
 
 
 
 
 
 

 
Step 1) 발문 "OF = OP" 를 통한 기하적 해석
 
F'은 F와 O에 대해 대칭이므로, OF와 OF'의 길이가 같습니다. 즉 OF = OF' = OP를 만족하며,
이것이 뜻하는 기하적 상황은 점 F, F', P가 O를 중심으로 하고, F'F를 지름으로 하는 원의 원주 위에 있다는 의미입니다.
 
 
 

 
그러므로 당연히 각 F'PF은 직각이 됩니다. (원주각 중심각 관계)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 Step 2) 발문 "세 점 P, F', Q를 지나는 원의 넓이가 25π" 를 통한 기하적 해석
 
다시 한 번 원주각 중심각 관계에 의해 F'Q는 원의 지름이 됩니다. 그러므로 F'Q = 10이 되겠고, 3:5 비율을 만족하므로 FQ = 6이 되겠습니다. 또한 Q는 쌍곡선 위의 점이므로 쌍곡선의 주축길이는 10 - 6 = 4 라고 구해 줄 수 있겠죠?
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Step 3) 피타고라스 정리와 쌍곡선의 성질 이용
 
 

 
쌍곡선의 성질에 의해 α - β = 4
 
 
 

 
피타고라스 정리를 통해 이와 같은 관계식을 얻어 줄 수 있습니다.
 
 
 

 
이 때 β = α - 4 이므로 
 
 

 
식을 이와 같이 α에 대한 이차방정식으로 정리 해 줄 수 있습니다.
 
 

 
 
 

 
α는 양수이므로 6이 되겠고, β는 자동적으로 2가 되겠네요.
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
Step 4) 초점 거리 구하기 
 

 

 

 

 
c^2 = 10, FP = 2이므로 둘을 곱해주면 20이 정답이 되겠습니다.
 
 
 
 

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