[220629] 평행이동된 포물선과 직선 사이의 관계 [정답률 24%]

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

[ 풀이 과정 ]

 

 

 

Step 1) 두 포물선 간의 관계 파악하기

 

$$C_1:y^2=8x$$

 

$$C_2:\left ( y-2a \right )^2=8\left ( x-a \right )$$

 

평면 위의 다음과 같은 두 포물선이 존재합니다. 두 포물선의 초점 거리는 둘 다 2로 동일한 포물선이지만, $C_1$은 원점을 꼭짓점으로 삼는 포물선이며, $C_2$는 $C_1$에 대하여 x축 방향으로 a만큼, y축 방향으로 2a만큼 평행이동 한 포물선입니다. 

 

하필 주어진 직선이 $2x-4=y$ 기울기가 2인 직선이죠? 포물선 $C_2$는 $C_1$을 a, 2a만큼 이동시킨 포물선이므로 결국 평행이동한 정도의 기울기가 2가 되는 것을 알 수 있습니다. 

 

결국 포물선 $C_2$는 기울기가 2인 직선 $2x-4=y$와 평행하게 움직였으므로  직선 $2x-4=y$와의 교점 사이의 거리가 변하지 않고 일정합니다.

 

$$\overline{AP}=\overline{AB}$$

즉 다음과 같은 관계식이 성립합니다. 

 

점 A, P는 포물선과 직선의 교점이며, 포물선과 직선의 방정식이 둘 다 주어져 있으므로 연립하여 구해낼 수 있겠네요. 

 

$$4(x-2)^2=8x$$

 

$$x^2-6x+4=0$$

 

$$x=3\pm \sqrt{5}$$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 2) 직선 AP의 길이 구해내기 

 

사실 준선이 $x=-2$라는 사실을 알 고 있으므로 다음과같이 AP의 길이를 구할 수 있습니다. 

 

$$\overline{AP}=5+\sqrt{5}+5-\sqrt{5}=10$$

 

2x-4 = y 의 x절편을 잠깐 H라고 두게 된다면 $\overline{AH}+\overline{HP}=\overline{AP}$이며, $\overline{AH}$는 A의 x좌표에서 준선의 x좌표를 뺀 결과, $\overline{HP}$는 P의 x좌표에서 준선의 x좌표를 뺀 결과이기 때문이죠.

 

 

또한 직선의 기울기가 2이므로, $1:2:\sqrt{5}$의 비율을 만족시키므로 다음과 같이 길이들을 전부 표현 할 수 있게 되는 것이죠. 사실 A,P의 x좌표가 둘 다 나와있으므로 두 좌표를 빼서 밑변의 길이를 구한 뒤 피타고라스 정리를 사용하는 것도 좋은 방법입니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 3) $k^2$ 구하기

 

결국 우리는 BD, AC, AB의 길이를 전부 구해 줄 수 있습니다.

 

$A_x=3+\sqrt{5}$, $B_x=3+3\sqrt{5}$ A,B의 x좌표를 전부 알고 있기 때문이죠. 결국 2씩 더하면 그게 각각 $\overline{AC}$와 $\overline{BD}$가 되는거 아닌가요?

 

$$\overline{AC}+\overline{BD}=5+\sqrt{5}+5+3\sqrt{5}=10+4\sqrt{5}$$

 

$$\overline{AC}+\overline{BD}-\overline{AB}=10+4\sqrt{5}-10=4\sqrt{5}$$

 

결국 $k=4\sqrt{5}$이므로 $k^2=80$ 정답은 80이 되시겠습니다.