[221128] 포물선 최악의 문제 [정답률 34%]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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[ 풀이 과정 ] 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 1) 포물선의 성질 활용하기

 

$F_2$, $F_1$이 각각 서로 다른 두 포물선의 초점이고, P, Q는 포물선 위의 점이므로 포물선의 성질을 사용하라고 무언의 압박을 주고있는 상황입니다. 일단 전체 선분의 길이가 3이고, PQ의 길이가 1이므로 $\overline{F_2Q}+\overline{F_1P}=2$라고 표현 할 수 있겠네요.

 

 

 

 

다음과 같이 준선을 설정해주고 점 P,Q의 x좌표를 다음과 같이 설정해줍니다. 

 

$$Q_x=\alpha $$

 

$$P_x=\beta$$

 

 

결국 밑변 P와 Q의 x 좌표 사이의 거리는 $\beta -\alpha $로 표현 할 수 있게 됩니다. 

 

삼각형 $QP'P$와 $F_2F'_1F_1$는 서로 닮은 직각삼각형이며 그 길이의 비율이 3:1을 만족하게 됩니다.

 

$$\overline{F_2F'_1}:\overline{QP'} =3:1$$

 

즉 다음과 같이 $\overline{F_2F'_1}$와 $\overline{QP'}$의 비율 관계가 3:1임을 얻어 낼 수 있겠죠?

 

$\overline{F_2Q}+\overline{F_1P}=2$포물선의 성질을 이용해줍니다. 

 

$$\overline{F_2Q}+\overline{F_1P}=\left ( 1-\alpha  \right )+\left ( \beta +p \right )=2$$

 

또한 $\overline{F_2F'_1}$와 $\overline{QP'}$의 비율 관계를 이용하여 다음과 같은 관계식들을 얻어 낼 수 있습니다.

 

$$\overline{F_2F'_1}=p+1=3\left ( \beta -\alpha  \right )$$

 

즉 두 식을 이용하여 다음과 같이 연립을 해 줄 수 있습니다.

 

$$\overline{F_2Q}+\overline{F_1P}=p+1+\beta -\alpha =2$$

 

$$\overline{F_2Q}+\overline{F_1P}=3(\beta -\alpha )+\beta -\alpha =2$$

 

$$\overline{F_2Q}+\overline{F_1P}=4(\beta -\alpha ) =2$$

 

$$\beta -\alpha =\frac{1}{2}$$

 

우리는 $\beta -\alpha$의 길이를 구했으므로 모든 좌표를 구할 수 있게 되었네요.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 3) $a^2+p^2$ 구해주기

 

$F_1=(a,p)=\left ( \frac{1}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2} \right )$ 

 

$$a^2+p^2=\frac{1}{4}+\frac{27}{4}=7$$

 

정답은 7, 즉 5번이 되겠습니다.