[270328] 쌍곡선과 원 [정답률 34%]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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[ 풀이 과정 ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 1) 쌍곡선과 원의 성질 적극 이용

 

 

 

 

 

 

 

$$\overline{F'P}-\overline{FP}=2a$$

 

$$r+\overline{QF'}-r=2a$$

 

$$\overline{QF'}=2a$$

 

 

 

 

$$\overline{QF}-\overline{QF'}=\overline{QF}-2a=2a$$

 

$$\overline{QF}=4a$$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 2) 발문에서 주어진 관계식 이용하기

 

 

$$\overline{PQ}+\overline{FQ}=r+4a=1$$

 

$$\overline{FQ}=1-r=4a$$

 

 

 

$$\overline{F'Q}=2a=\frac{1-r}{2}$$

 

$$\overline{F'P}=r+\frac{1-r}{2}=\frac{r+1}{2}$$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 3) 직각삼각형 F'FP를 통한 $\cos\theta$ 구하기

 

 

 

 

$$\cos\theta=\frac{\overline{PF}}{\overline{PF'}}=\frac{2r}{r+1}$$

 

 

이제 이등변삼각형 PQF에서 코사인법칙을 이용하여 미지수 r을 구해내면 되겠네요

 

 

$$(1-r)^2=2r^2-2r^2\times \frac{2r}{r+1}$$

 

$$(1-r)^2=2r^2-\frac{4r^3}{r+1}$$

 

$$(1-r)^2=\frac{2r^2(r+1)}{r+1}-\frac{4r^3}{r+1}=\frac{2r^2(1-r)}{r+1}$$

 

$$(1-r)=\frac{2r^2}{r+1}$$

 

$$2r^2=1-r^2$$

 

$$3r^2=1,\therefore  r=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

 

정답은 3번이 되겠네요.