[270329]포물선과 원의 성질 활용 [정답률 35%]

 

 

 

 

 

 

 

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[ 풀이 과정 ]

 

 

 

 

 

 

 

Step 1) 주어진 상황 작도 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

그림이 많이 왜곡되긴 했지만 아무튼 포물선의 성질에 의해 $\overline{HP}= \overline{AF}=r$ 다음 관계식이 성립합니다. 즉 삼각형 HPF는 이등변삼각형이라는 것이죠.

 

 

$$\overline{HF}=k$$

 

$$r^2=r^2+k^2-\frac{2rk\sqrt{3}}{3}$$

 

$$k^2=\frac{2rk\sqrt{3}}{3}$$

 

$$k=\frac{2\sqrt{3}r}{3}$$

 

 

이제 $cos{\left ( \frac{\pi}{2} -\theta  \right )}$를 이용하여 직각삼각형의 길이를 전부 표현이 가능해집니다. 어차피 모든 변의 길이들이 전부 r에 관한 비례관계를 이루고 있으므로 r을 그냥 생략하고 계산하는게 좋겠네요.

 

$$\frac{3{\overline{HH'}}}{2\sqrt{3}r}=\sin\theta =\frac{\sqrt{6}}{3}$$

 

$$\overline{HH'}=\frac{2\sqrt{2}r}{3}$$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 2) 평행사변형 APHF의 넓이를 통한 r 계산

 

높이가 $\overline{HH'}$ 길이가 r인 평행사변형이므로 다음과 같이 계산을 해 줄 수 있습니다.

 

$$\frac{2\sqrt{2}r^2}{3}=54\sqrt{2}$$

 

$$\frac{r^2}{3}=27$$

 

$$r^2=81,\therefore r=9$$

 

 

 

 

직각삼각형 HH'F를 통해 p의 값도 구해줍니다.

 

$$p^2+18=27$$

 

$$p^2=9,\therefore p=3$$

 

 

$$p+r=9+3=12$$ 정답은 12입니다.