[240729] 성분을 이용한 평면벡터의 내적 (정답률 9%)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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[ 발문 확인 ]

 

 

 

 

정보 1) 좌표평면 위의 세 점의 좌표를 전부 주었습니다. 내적 관련 문제에서 좌표 평면을 설정 해 주었다는 것은 벡터의 성분을 통하여 내적하는 것이 더 빠른 문제일 가능성이 큽니다.

 

 

 

 

 

 

 

정보 2) 벡터의 내적값이 0, 즉 직각과 관련된 상황에서 적용 할 수 있는 조건과 벡터간의 관계식을 주었네요.

 

 

 

 

 

 

정보 3) 벡터 QA의 크기가 2임을 알려주고 있습니다. 벡터 APㆍAQ의 값을 구하는 것이 목표입니다.

 

 

 

 

 

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[ 풀이 과정 ]

 

 

 

 

 

Step 1) 점 A,B,C 설정하기 및 조건 (가) 활용 I

 

일단 점 A,B,C의 위치를 찍어서 기록하는 것이 중요합니다.

또한 조건 (가)를 이용해본다면 AP와 BP를 내적한 결과가 0이 되기 위해서는 벡터 AP와 벡터 BP가 이루는 각이 직각이어야 하겠죠. 

 

 

 

 

AP와 BP가 서로 수직이 되게 하는 점들을 다 모아본다면 선분 AB를 지름으로 하는 원 위의 점임을 알 수 있습니다. 원주각, 중심각 관계에 의하여 원주 위의 아무 점을 찍어도 직각이 성립하므로 원주 자체가 점 P의 집합이라고 할 수 있습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 2) 조건 (가) 활용 II

 

하지만 OP와 OC 벡터를 내적했을 때 0보다 같거나 커야하므로 OP벡터와 OC벡터가 이루는 각이 2분의 π보다 커지면 안됩니다. 두 벡터가 이루는 각이 2분의 π보다 커지게 된다면 두 벡터가 이루는 각의 cos값이 음수가 되므로 0보다 작은 값이 생기기 때문이죠. 그러므로 선분 AB를 지름으로 삼는 + y좌표가 양수인 원 위의 점이 P가 되는 것이죠.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 3) 조건 (나) + 벡터 QA의 크기 = 2  활용 

 

 

QA벡터의 크기가 2이므로, 점 A를 중심으로 하는 반지름이 2인 원의 원주 위에 점 Q가 존재하게 됩니다.

 

여기서 조건 (나)의 활용이 중요한데, 선분 AP의 내분점벡터를 이용하면 좋게 생겼지만 다음과 같이 바라봅시다. 

 

 

 

 

QA를 이항한 뒤 벡터의 뺄셈을 이용하여 벡터 AB와 QP가 평행이라는 것을 알아내는 것이죠. 

 

 

 

 

 

 

또한 추가적으로 벡터에 절댓값을 씌우던지 벡터 AB가 QP벡터의 4배라는 것을 이용하여 AB의 길이가 4였으므로 QP의 길이는 1이 되는 것을 알 수 있습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 4) 가능한 점 P, Q 의 위치 찾기 

 

벡터 QP는 AB와 양의 실수 배이므로 같은 방향으로 평행하고, 길이가 1이 된다는 것을 알고 있으므로 가능한 점 P, Q의 위치는 이와 같이 나타날 것입니다. 

 

 

 

PQ가 이와 같이 위치하게 된다면 PQ와 AB가 평행하므로, -4QP = AB 인 경우에만 만족하게 됩니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

또한 당연하지만 이와 같은 영역의 원주 위에서 P, Q가 존재하게 되면 QP의 길이가 2가 되므로 모순입니다. (x축 방향으로 -2 만큼 평행이동 한 원이므로)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 4) 점 들의 위치 파악

 

선분 AB를 지름으로 하는 원의 중점을 O라고 둔다면, 사각형 PAQO는 등변사다리꼴이 됩니다. 

 

 

 

 

 

즉 이와 같이 점 P, Q의 좌표를 전부 표현 해 줄 수 있게 되었네요. 좌표를 전부 알고 있을 때에는 그냥 성분을 이용한 내적이 더욱 간단합니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 5) 벡터 AP, AQ 설정 후 내적

 

 

 

 

 

A, P, Q의 모든 성분을 알고 있으므로 AP와 AQ벡터를 성분으로 표현해줍니다.

 

 

 

 

그 후 내적을 해줍시다.

 

 

 

 

 

k = 2분의 9 였으므로 20을 곱해주면 정답은 90이 되겠네요.

 

 

 

 

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