[260730] 평면 벡터 내적의 최댓값 (정답률 15%)

 

 

 

 

 

 

 

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[ 발문 확인 ]

 

 

 

 

정보 1) 평행사변형 ABCD의 변의 길이와 각의 크기를 주었습니다. 코사인 값을 친절히 주었는데도 불구하고 코사인 법칙 혹은 내적을 사용하지 않는다면 명백한 위법 행위가 되겠습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

정보 2) 일단 위와 같은 두 개의 벡터에 관한 관계식을 주었네요. 문제를 푸는 핵심 조건이므로 천천히 생각해봅시다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

결국 벡터 PB와 DQ를 내적한 값의 최대를 구하라고 했습니다. 최댓값을 구하라고 했으므로 P 혹은 Q는 움직이는 동점이라는 사실을 명심합시다.

 

 

 

 

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[ 풀이 과정 ]

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 1) 코사인 법칙 사용 

 

일단은 코사인 법칙을 사용하여 모든 변의 길이를 구해 줄 수 있게 됩니다. 각 ABC를 θ라고 한다면 일단 평행사변형이므로, 각 BAD, BCD는 (π - θ) 로 표현 할 수 있게 됩니다.

 

 

 

 

 

그 후 이와 같이 코사인법칙을 사용해준다면 BD와 AC의 길이를 전부 구해낼 수 있게 되며, 선분 BD와 AC의 교점은 평행사변형의 중점이 됩니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 2) 중점 벡터를 중심으로 관계식 해석 I

 

첫 번째 관계식을 해석 해 보도록 합시다. 

 

 

BD의 길이는 8이며 2로 나누면 4가 되므로 일단 우변은 4가 나오겠습니다. 절댓값을 씌워서 크기에 관한 정보만 담고 있으므로 방향은 파악 할 수 없습니다.

 

뭔가 시점이 P로 맞추어져 있긴 하지만 시점을 A,B,C 중 하나로 전부 바꿔주는 것이 더욱 낫습니다. 시점을 B로 전부 통일시켜주는게 나을 것 같으므로 시점을 B로 통일해줍니다.

 

 

 

 

일단 이와 같이 시점을 전부 B로 바꾸어주었습니다. 일단 벡터의 시점이 동일한 덧셈입니다. 즉 평행사변형 덧셈법을 써야하는데 마침 그림에서 주어진 도형이 평행사변형입니다.

 

 

결국 벡터 BA + BC는 벡터 BD가 되므로 식을 다음과 같이 한 번 더 바꿔줄 수 있겠습니다.

 

 

 

앞에 곱해진 계수가 일단 전부 2의 배수이므로 뭔가 중점 벡터를 사용해 줄 수 있을 것 같네요. 

 

 

 

 

 

 

2씩 묶이도록 -4BP 중 -2BP를 +2PB로 바꿔주겠습니다. 

 

 

 

 

결과적으로 계수가 동일한 PD+PB 시점이 동일한 벡터의 덧셈 형태가 완성되었습니다. 

 

 

 

 

 

중점벡터를 이용하기 위하여 이와 같이 식을 변형해줍니다.

 

 

 

 

 

선분 BD의 중점을 M으로 두게 된다면 다음과 같이 표현 할 수 있게 됩니다.

 

 

 

 

점 P는 M을 중심으로 하는 반지름의 길이가 1인 원 위의 점입니다. 

 

 

 

첫 번째 관계식에 의해 점 P가 위치 할 수 있는 영역은 중심이 M이고 반지름의 길이가 1인 원 위가 되겠습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 3) 중점 벡터를 중심으로 관계식 해석 II

 

이 문제는 중점 벡터 하나만 잘 사용하셔도 정말 쉬워지는 문제입니다. 관계식을 보면 너무나 노골적으로 중점 벡터를 이용해주라고 빌고있잖아요

 

 

 

 

알았어 중점 벡터 써줄게 안달하지마 이년아~ 

 

 

 

 

선분 QP의 중점을 이번에는 T로 잡아볼까요?

 

 

 

 

 

이번에는 절댓값이 씌워지지 않았으므로 정말 말 그대로 평행하면서 AC벡터의 절반의 크기를 가지는 벡터가 AT 벡터입니다. 즉 T는 AC의 중점이라는 소리입니다. 결국 점 T 역시 M과 동일한 점이었네요.

 

 

결국 다음 두 관계식을 통해 가능한 점 P, Q의 위치를 특정 할 수 있게 되었습니다. 선분 PQ의 중점이 원의 중심인 T, 즉 M이어야하므로 P와 Q는 원의 지름을 이루면서 빙글빙글 움직이는 것이죠.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 4) 내적 최댓값 구하기

 

답을 내기 쉽게 일부러 내적의 최댓값이 되는 상황이 직관적으로 보이네요.

 

벡터 PB와 DQ의 내적이 최대가 되기 위해서는 Q, P가 위와 같이 위치해야합니다. 벡터 PB와 DQ의 크기가 최대가 되면서 동시에 동일한 방향이므로 두 벡터 사이 각도의 코사인값이 1으로 코사인값마저 최대가 되기 때문이죠.

 

 

 

즉 내적의 최댓값은 선분 BP 길이의 제곱 혹은 선분 DQ의 길이의 제곱인 25가 되겠습니다. 

 

 

 

 

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