[230628] 조건을 만족하는 모든 점 X의 영역 구하기 (정답률 33%)

 

 

 

 

 

 

 

 

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[ 발문 확인 ]

 

 

 

 

정보 1) 좌표평면 상의 네 점의 좌표를 주었습니다. 일단 좌표평면 위에 점을 찍어서 기록해줍시다.

 

 

 

 

 

 

정보 2) 다음 조건 (가), (나)를 모두 만족시키는 점 X의 집합을 S라고 하네요. 

 

 

 

 

 

 

결국 (가), (나) 조건을 모두 만족시키는 점 X의 집합을 구한 뒤, y좌표가 최대인 점과 최소인 점에 대하여 내적을 시키네요. 

 

 

 

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[ 풀이 과정 ]

 

 

 

 

 

 

Step 1) (가) 조건을 만족하는 모든 점 X 구하기

 

(가) 조건을 보면, 우리는 결국 두 가지 조건 중 하나만을 만족하면 점 X의 후보가 될 수 있다는 것을 알 수 있습니다.

 

 

 

첫 번째 조건은 DX와 OC의 내적값이 0이 되는 경우입니다.

 

 

 

벡터 OC와 DX는 수직을 이루어야 합니다. C의 좌표는 (4,4) 이므로 원점과 점 C를 지나는 직선의 방정식은 기울기가 1이고 원점을 지나는 직선인 x = y가 됩니다.

 

기울기가 1인 직선과 수직을 이루기 위해서는 기울기가 -1인 직선이 바로 벡터 DX가 되어야겠군요.

 

 

 

 

점 D (8, 6) 을 지나며 기울기가 -1인 직선 위의 모든 점들이 X가 될 수 있는 후보입니다. 결국 점 D를 원점으로 평행이동 해온다면 DX와 OC가 서로 수직을 이루기 때문이죠. 

 

 

 

 

(가) 조건을 통해 얻어낼 수 있는 점 X의 두 번째 후보입니다. 

 

 

 

 

 

절댓값이 씌워져 있으므로 벡터의 방향은 고려하지 않고 벡터 CX의 크기가 3만 충족한다면 되겠네요.

 

 

 

 

두 번째 후보는 점 C를 중심으로 하는 반지름이 3인 원의 위에 있을 수 있겠네요.

(가) 조건을 통해 얻어낸 결과는 보면 알 수 있듯이 파란 영역이 점 X의 집합입니다. 두 가지 조건 중 하나만 만족하면 되기 때문이죠.

 

또한 계산을 해보시면 알겠지만, C와 B 사이의 거리는 2루트2, 즉 반지름인 3보다 작으므로 원 내부에 있는 점인 것도 충분히 알 수 있습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 2) (나) 조건을 만족하는 모든 점 X 구하기

 

 

 

 

 

 

벡터 PX와 벡터 OC는 평행이므로 실수배 관계로 표현 해 줄 수 있습니다. 여기서 k가 음수여도 아무런 상관이 없는게 방향이 반대더라도 결국 평행하므로 아무런 상관이 없죠.

 

또한 점 P는 선분 AB 위의 점이므로 사실 상 선분 전체가 점 P의 집합이라고 보는 것이 좋습니다 (혹은 AB 위를 움직이는 동점) 일단 상황을 보겠습니다.

 

 

 

 

선분 PX가 OC와 평행해야하므로 가능 한 모든 X의 위치를 모아보면 위와 같이 초록 직선 내부에 존재하는 파란색 영역이 됩니다.

 

 

 

 

아주 친절히 설명해주자면 황금색으로 칠해진 부분이 점 X의 모든 집합입니다.

 

 

 

 

왜냐하면 황금색으로 칠해진 X의 집합 위에 어느 점을 잡더라도 항상 OC와 평행한 PX라는 직선이 존재하기 때문입니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 3) 점 R, Q 확정 후 내적

 

y좌표가 최대가 되는 점과 최소가 되는 점을 찾는 것은 그리 어렵지 않습니다. 너무나 직관적이기 때문이죠. 하지만 좌표를 구하는 것은 또 다른 문제입니다.

 

R의 좌표는 너무나 명확하죠? 반지름이 3이므로 중심 C에서 y좌표를 3만큼 빼면 R의 좌표를 구할 수 있습니다. 원의 가장 아래 점이니까요.

 

 

 

Q의 좌표를 구하는 것이 약간 귀찮습니다. 결국 두 개의 직선의 방정식을 구한 뒤 연립해주어야 하기 때문이죠.

 

 

점 D를 지나고 기울기가 -1인 직선의 방정식은 아래와 같습니다.

 

 

기울기가 -1이면서 동시에 8,6을 지나야 하기 때문이죠.

 

 

 

이번에는 점 A를 지나고 기울기가 1인 직선의 방정식을 구해주어야 합니다.

 

 

2,6을 지나야 하므로 간단하게 구해 낼 수 있습니다.

 

 

 

 

이제 두 직선의 교점이 Q이므로 두 직선을 연립해주면 되겠군요.

 

 

 

점 Q의 x좌표는 5가 나오며, 두 개의 직선의 방정식 중 편한곳에 대입하여 y좌표를 구하면 되겠습니다.

 

 

그러면 점 R의 좌표가 이와 같이 나오게 됩니다.

 

 

내적을 해준다면 이와 같이 29라는 결과를 얻을 수 있겠네요. 정답은 5번이 되시겠습니다.

 

 

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