[261130] 평면 벡터와 원 (정답률 4%)

 
 
 
 
 
 

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[ 발문 확인 ]

 
 
 
 
 

 
정보 1) 두 점 P, Q의 정보를 주었습니다. 일단 선분 AB를 지름으로 하는 원 위의 점과 AB를 이으면 항상 직각삼각형이 된다는 점을 알고 가는게 좋겠습니다.
 
 
 
 
 
 

정보 2) 벡터간의 관계식이 주어져있습니다.
 
 
 
 
 
 

 
정보 3) 선분 PB의 길이가 주어져 있고 삼각형 APB는 직각삼각형이므로, 선분 PA의 길이마저 구해 낼 수 있겠네요.
 
 
 
 

문제에서 요구하는 것은 벡터 PA와 QB를 내적하라고 합니다.
 
 
 
 
 
 
 

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[ 풀이 과정 ]

 
 
 
 
 

Step 1) 점 P와 원 설정
 
원의 지름이 10루트2이며, 선분 PB의 길이가 14, APB는 직각삼각형이므로 PA의 길이는 2가 되는 것을 알 수 있습니다. 이와 같이 점 P를 잡아주면 가능한 점 P는 지름 AB와 대칭으로 두 개가 정해지게 되는데 편한 쪽인 선분 AB보다 위 쪽의 점을 P로 설정해주었습니다.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
Step 2) 벡터 관계식 해석
 
위의 관계식을 해석하는 것이 문제에서 가장 중요했던 부분입니다.
 
 
 
 

 
당연히 선분 AB는 고정되어있는 선분이고, 길이를 알고있으므로 선분 AB의 중점을 O라고 둡니다. 결국 지름의 중점이므로 원의 중심이 되며 원에서는 벡터들을 원의 중심을 경유하도록 분해해주면 해석의 난이도가 확 내려갑니다.
 
 
 
 

 
벡터 PQ + PB를 다시 한 번 Q와 B의 중점을 M이라고 잡아준 뒤 선분 QB의 중점 벡터로 표현이 가능하지만, 점 Q의 위치를 모르므로 표현 할 수 있는 선분 QB가 무수히 많아집니다. 점 Q의 위치를 모르기 때문에 PQ벡터를 원의 중심을 경유하도록 바꿔줍니다.
 
PB벡터는 굳이 중심을 경유하도록 바꿔 줄 필요가 없습니다. 벡터의 길이와 방향을 모두 알고 있기 때문입니다.
 
 
 
 

 

 
 
결과적으로 내적에 관한 식을 전부 이와 같이 바꿔 줄 수 있게 됩니다. PO와 OQ의 내적을 제외한 모든 내적값을 알고 있으므로 내적값을 해석할 여지가 생기게 됩니다.
 
 
 
 

 
분배법칙을 이용하여 하나하나 씩 천천히 내적을 진행해 봅니다. 
 
 

 
벡터 PO와 OQ의 내적은 그 값을 모르므로 일단 미지수인 α를 이용하여 표현 해 줍니다.
 
 

 
PO와 PB의 내적은 98이 나오게 됩니다. 
 
 

그 이유는 벡터 PO에서 벡터 PB에 내린 수선의 발을 H라고 하면 삼각형 POB는 이등변삼각형이므로 점 H는 PB의 중점이 되며,
내적의 기하학적인 정의 자체가 선분 PH와 PB를 곱한 값이므로 7x14 = 98이 나오게 되는 것이죠.
 
 
 
 
 
 

 
결국 식을 이와 같이 표현해 줄 수 있는데 벡터 PO + OQ의 제곱은 결국 자기 자신을 내적했다고 볼 수 있으므로 내적을 이용하여 전개해줄 수 있습니다.
 
 
 
 
 

 
PO의 길이는 결국 반지름이며, OQ의 길이 역시 반지름입니다. 
 
 
 
 
 

 
또한 PO와 OQ의 내적을 α로 두었으므로 결국 최종적으로 식을 이와 같이 바꿀 수 있게 되는 것이죠.
 
 

 
결국 식을 적당히 이항하여 α의 값을 구해 줄 수 있습니다.
 
 
 
 

 
 

 
 
 

 
구해준 α를 이용하여 벡터 PQ의 길이 역시 구해 줄 수 있겠습니다.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
Step 3) PA와 QB 내적하기
 
 
삼각형 PQB는 이등변 삼각형이 되겠으며 Q의 위치 역시 확정을 끝마쳤으므로 내적을 해주면 되겠네요. 하지만 내적값 자체가 깔끔하지가 않습니다. 내적을 하기 위해서는 점 P, A, Q, B의 좌표들을 일일히 구해내거나, 벡터 QB의 시점을 P로 평행이동을 해온 뒤 벡터가 이루는 각도를 알아내야하는데 어떤 방법을 선택하더라도 매우 힘들어 집니다.
 
 

 
즉 내적 자체를 손봐줌으로서 계산을 더욱 편하게 할 수 있는 방법을 찾아볼 것입니다. 일단 개빡치는게 시점이 동일하지가 않아서 내적을 계산하기가 까다로운 것 이므로 벡터 QB의 시점을 P로 바꿔주겠습니다.
 
 
 

 
이와 같이 벡터의 시점을 바꿔주면 계산이 너무 편해집니다. 결국 PA와 PB의 내적은 0임이 너무나 명확하므로 결국에는 PA와 PQ 사이의 내적만 해주면 되기 때문이죠.
 
 

 
시점이 P로 동일하고, PQ의 길이마저 알고 있으므로 결국 PA와 PQ 사이가 이루는 각도의 코사인값만 구해주면 되겠네요.
 
 
 
 
 

결국 우리가 구해내야 하는 값은 cos θ 이지만, sin β를 구해내도 됩니다.
 

 

 
왜냐하면 각 APB가 직각이기 때문입니다.
 
또한 sin β는 외접원의 반지름을 알고 있으므로 사인법칙을 이용하여 구하기가 매우 간단하죠.
 
 
 
 
 

일단 sin γ값을 먼저 구해줍니다. 
 
 

 
 

 
구해 낸 sin γ 값을 이용하여 cos γ 값을 구해줍니다.
 

 
 
 
 
 
 

 

 
 

 
 

 
 
 
 
 
 

 
이제 사인 법칙을 다시 이용하여 sin β를 구해줍니다.
 
 

 

 
 

 
이제 내적 값을 구해주기만 하면 끝나겠네요.
 
 
 
 

 
 
 

 
p + q = 196 + 25 = 221, 정답은 221이 되겠습니다.
 
 
 
 
 

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