[ 발문 확인 ]
정보 1) 두 점 A,B의 좌표를 주었습니다.
정보 2) 미지의 점 X의 위치를 벡터를 통하여 알려주고 있네요.
정보 3) 점 X가 나타내는 도형 위를 움직이는 두 점 P, Q의 위치를 단위벡터인 벡터 u를 통해 알려주고 있습니다.
이와 같은 벡터 관계식을 만족하는 점 Y의 집합이 나타내는 도형의 길이가 무엇인지 요구하고 있습니다.
[ 풀이 과정 ]
Step 1) 원을 중심으로 벡터 관계식 해석 I
위의 관계식이 가지는 의미가 무엇인지 알아봅시다.
다음의 두 개의 조건 중 하나의 조건을 만족한다면 그것이 점 X의 위치라는 의미입니다.
반지름의 길이가 2이며 점 A, B를 각 각 중심으로 하는 원을 두 개 그려본다면 두 개의 원의 원주가 모든 점이 점 X의 집합입니다.
또한 동시에 벡터 OX의 크기는 2보다 커야하므로 중점을 중심으로 하고 반지름이 2인 원을 그렸을 때, 원 내부의 점 X를 제외한 나머지 점들만이 진정한 점 X가 되는 것입니다.
결국 점 X가 나타내는 도형은 이와 같이 고환과 비슷한 모양이 형성됩니다.
Step 2) 정삼각형을 중심으로 벡터 관계식 해석 II
(가) 조건이 상당히 중요한 정보입니다. 일단 벡터 u는 길이가 1인 단위벡터이며, x축과 평행한 벡터입니다.
OP ·u, OQ ·u가 둘 다 양수거나 혹은 음수 일 때만 점 P, Q가 위치 할 수 있습니다.
점 P, Q가 이와같이 존재하면 하나는 내적이 음수가 나오고, 하나는 내적이 양수가 나오죠?
존재 할 거면 이와 같이 하나의 사 분면에 몰아서 존재하라는 의미입니다.
그와 동시에 점 P, Q 사이의 거리는 2를 유지해야합니다.
Step 3) 중점 벡터를 중심으로 벡터 관계식 해석 III
점 P, Q 의 중점을 M이라고 두었을 때 벡터 OM이 나타내는 도형의 길이를 두 배 하면 점 Y의 집합이 나타나게 됩니다.
사실 벡터의 크기가 2배 늘어나면 길이 역시 비례적으로 2배 늘어나게 표현되므로 점 M이 나타내는 도형의 길이에 2배를 곱하여 답을 구하는 방법이 더욱 직관적이겠네요.
제 3사분면에서 점 P, Q가 존재할 수 있는 최소의 x좌표부터 시작해봅시다.
선분 PQ의 중점의 M이 이와 같이 형성 될 것입니다.
삼각형이 원 내부를 돌면서 결국 이와 같이 종착점을 형성하게 될 것입니다. 점 X가 나타내는 도형의 끝 부분이므로 더 이상 갈 수 없기 때문이죠.
즉 이를 만족하는 점 M을 모두 모은 초록색 호의 길이가 곧 구하고자 하는 Y가 나타내는 도형의 길이입니다.
사실 1사분면 역시 대칭적으로 그림이 아예 똑같이 그려지겠으므로 굳이 1사분면에서는 그릴 필요가 없습니다. 결국, 초록색 호의 길이에 2배를 하면 되기 때문이죠. 그 이후 2배를 또 해야지 Y가 나타내는 도형의 길이가 되므로 결과적으로는 초록 호의 길이에 4배를 해주어야합니다.
초록색 부채꼴의 반지름은 직각삼각형의 높이인 루트 3이 되겠네요.
또한 부채꼴의 중심각은 360 - (30+90+30)도 이므로 210도가 되며, 30도가 6분의 π이므로 6분의 π를 7배한 6분의 7π가 됩니다.
초록색 호의 길이는 다음과 같이 공식을 통해 구해줄 수 있게 됩니다.
앞서 설명했듯이 4를 곱해주면 정답이 나오게 됩니다.
p+q = 14+3 = 17 이므로 정답은 17이 되겠네요.
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