[220630] 내적의 최대 최소 (정답률 9%)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

[ 풀이 과정 ]

 

 

 

 

 

 

 

Step 1) 좌표평면 위의 그림을 통해 상황 해석

 

기하에서 가장 중요한 능력은 바로 미적 감각입니다. 일단 상황을 보면 한 변의 길이가 $2\sqrt2$인 정사각형을 45도 회전한 모양의 도형이 그려지게 됩니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 2 ) 조건 (가) 해석

 

이제 조건들을 차근차근 해석해가면서 미지의 점인 P, Q의 위치들을 추정해주면 되겠습니다. 두 점 P, Q 는 전부 정사각형의 변 위에 존재하는 점입니다.

 

식을 보면 알겠지만 $\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{AB}=0$ 혹은 $\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{AD}=0$을 만족하면 (가) 조건을 만족하게 됩니다. 

 

즉 $\overline{PQ}$와 $\overline{AB}$가 서로 수직이거나, $\overline{PQ}$와 $\overline{AD}$가 서로 수직인 경우, 둘 중 하나를 만족하면 (가) 조건을 만족한다는 것이죠. 

 

 

 

 

즉 다음과 같이 PQ의 위치가 정사각형의 변 BC, AD와 평행한 경우 전부 만족이 되겠죠?

 

 

 

혹은 다음과 같이 $\overrightarrow{PQ}$가 AD와 수직을 이루게끔 AB, CD와 평행하면 되겠네요. (P, Q의 위치는 서로 바뀔 수 있음)

 

P, Q 사이의 위치관계가 다음과 같이 정해졌으니 한결 편해졌네요. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 3) 조건 (나), (다) 해석

 

조건을 동시에 해석해봅시다. 어차피 조건의 생김새가 비슷하잖요? 사실 상 하나의 조건이라고 보셔도 무방합니다. 

 

 

$\overrightarrow{OA}$의 방향과 크기를 전부 알고 있으므로 내적의 기하학적 정의를 이용하는게 좋아보입니다. 결국 $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP}$가  -2보다 커야하는데 그 경계값인 -2가 될 때를 구해줍니다. 

 

$\overrightarrow{OP}에서 $\overrightarrow{OA}$에 내린 수선의 발의 길이가 1이 되는 동시에 반대 방향인 순간이 결국 -2가 되는 순간이잖아요?

 

 

이와같이 점 P의 위치가 BC의 정확히 중점에 위치하게 된다면 그 순간 $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP}=-2$를 만족하게 됩니다.  

 

 

 

-2보다 내적값이 클 수 밖에 없는 선분 BP 사이 역시 조건을 만족하며, 1,4사분면은 어차피 이루는 각도가 90도보다 같거나 작으므로 내적값은 0보다 크게 되겠죠. 결국 3사분면에서 수선의 발의 길이가 1이 되게끔 다시 내린 점까지 P가 존재할 수 있는 구역이 나오게 됩니다.

 

또한 $\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OP}$의 값이 양수가 되어야 하므로, P가 존재 할 수 있는 정확한 위치를 따져보자면 다음과 같이 나오게 됩니다. 

 

파란색으로 칠해진 정사각형의 변이 P가 존재 할 수 있는 위치가 됩니다. 

 

 

 

 

 

 

 

Q 역시 똑같이 내적값이 -2보다 커야하므로 기본적으로 P의 상황과 동일하지만 이번에는 $\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OQ}$의 값이 음수가 나와야하므로 다음과 같이 Q가 존재 할 수 있는 위치가 정해집니다.

 

 

 

 

 

전부 정리해보자면 다음과 같은 상황이 되는 것이죠. P, Q가 존재 할 수 있는 위치는 다음과 같으며, 이 때 직선 PQ는 AB 혹은 AD와 평행해야합니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 4) 내적의 최대 최소 구하기

 

이제 내적을 진행 해 주면 될 것 같습니다. 종점이 P, Q이며 시점은 R로 동일하므로 중점 벡터를 이용하여 내적을 진행해주겠습니다.

 

직선 PQ의 중점을 M이라고 치고 내적식을 다음과 같이 써 봅시다.

 

 

 

Q ) 왜 굳이 벡터의 내적을 복잡하게 바꾸나요??? 

 

A ) 결국 MP와 MQ가 서로 역벡터임을 이용하여 더욱 편하게 문제를 해결 할 수 있습니다. 

 

 

 

그림에서 보는 바와 같이 MP와 MQ가 서로 역벡터 관계입니다. 즉 식을 최종적으로 다음과 같이 쓸 수 있게 됩니다.

 

 

식을 다음과 같이 표현하면 매우 유리해지는게 $\overrightarrow{MP}$의 크기는 구하기 쉽고 상수이므로 결국 $\overrightarrow{RM}$ 크기의 최대 최소만 구하면 되기 때문이죠.

 

일단 가능한 Q,P의 자취를 모아봅시다. 3사분면 위에 점 Q가 존재한다고 가정하면 다음처럼 Q1P1부터 Q2P2까지의 범위를 훑고 지나가겠죠?

 

 

그러므로 중점인 M의 자취는 다음과 같이 형성됩니다.

 

 

 

4사분면 위에 Q가 존재한다고 가정해봅시다. 그렇다면 아까처럼 Q1P1부터 Q2P2까지 직선이 훑고간 영역의 중점만 모아주면 되겠죠?

 

 

 즉 종합해보면 P, Q가 움직임에 따라 나타나는 점 M의 자취는 다음과 같이 형성됩니다. 

 

$\overrightarrow{MP}$의 크기는 $\overrightarrow{PQ}$의 절반이며 $\overrightarrow{PQ}$의 크기는 $2\sqrt2$이므로 $\left |\overrightarrow{MP} \right |^2=2$가 되겠네요 .

 

 

$\overrightarrow{RM}$크기의 최댓값과 최솟값을 구한 뒤 각각 2만큼 빼면 되겠죠?

 

 

점 M은 기울기가 각각 -1, 1이고 원점을 지나므로 선분의 종점 좌표들을 다음과 같이 표현 할 수 있으며 이 상황에서 $\overrightarrow{RM}$의 크기가 최대가 되는 점과 최소가 되는 점은 너무나 명확합니다. 

 

 

M = (1, -1)인 경우 최대가 되겠고, M = (1, 1)이면 최소가 되겠죠

 

$\left | \overrightarrow{RM}\right |^2-\left |\overrightarrow{MP} \right |^2=3^2+3^2-2$ 즉 최솟값은 16이 되겠습니다.

 

$\left | \overrightarrow{RM}\right |^2-\left |\overrightarrow{MP} \right |^2=3^2+5^2-2$ 즉 최댓값은 32이 되겠습니다.

 

결국 M+m = 16+32 = 48이므로 정답은 48이 되겠네요. 

 

벡터 킬러문제는 정말 벡터의 연산에 대한 이해도가 높아야합니다. 이 문제에서 중점 벡터를 이용하여 내적을 했던 것은 $\overrightarrow{MP}$와 $\overrightarrow{MQ}$가 서로 역벡터 관계이며, $\overrightarrow{MP}$은 결국 상수가 되며 

변수였던 $\overrightarrow{RM}$ 역시 중점 M의 집합을 통해 최대 최소를 구해내기 직관적이므로 가능했던 풀이었습니다.