[220730] 벡터 내적의 최댓값 (정답률 19%)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

[ 풀이 과정 ]

 

 

 

 

 

 

Step 1) 길이와 각도에 관한 정보 표시, 점 Q의 위치 찾기

 

중요한 정보들만 일단 표시해보겠습니다. 원이 나오면 일단 중심을 경유하게끔 원의 중심을 점으로 표현해주는 것이 중요합니다. 평면 벡터의 킬러문제들은 대부분 원을 이용하는 경우가 많으므로 원과 익숙해져야합니다.

 

 

원 위의 점 P에 대하여 $\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OP}$의 값이 최대가 되도록 하는 점 Q를 찾아봅시다.

 

$\overrightarrow{OC}\cdot \left ( \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MP}\right )$ 내적의 식을 다음과 같이 바꿔줍니다.

 

$\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OM}$은 어차피 변하지 않는 상수이므로 고려할 대상이 아니므로 패스!

$\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{MP}$결국 이놈만 변수이므로 내적값이 최대가 되는 점 P를 찾아야 합니다.

 

너무나 당연하게도 $ \overrightarrow{OC}$와 $\overrightarrow{MP}$가 평행하면 내적이 최대가 되겠죠? 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 2) $\overrightarrow{DQ}\cdot \overrightarrow{AR}$의 최댓값 구하기

 

일단 선분 OQ의 기울기가 얼마인지를 알아주면 좋을 것 같습니다. DQ와 평행한 직선이므로 기울기를 안다면 내적의 최댓값을 구할 수 있습니다.

 

MQ는 OC와 평행하다는 정보를 이용하면 다음과 같이 길이를 표현 할 수 있게 됩니다.

 

 

 

 

 

$$\frac{2+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}+3}$$

직선의 OQ의 기울기를 다음과 같이 표현 할 수 있습니다. 

 

$$\frac{2+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}+3}=\frac{\left ( 2+\sqrt{3} \right )\left ( 2\sqrt{3}-3 \right )}{3}$$

 

$$\frac{\left ( 2+\sqrt{3} \right )\left ( 2\sqrt{3}-3 \right )}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

 

결과적으로 직선의 기울기가 $\frac{\sqrt{3}}{3}$이므로 HOQ의 각도는 30도가 되겠네요. 

 

 

결과적으로 다음과 같이 DQ의 길이를 구해 낼 수 있으며, DM과 DQ가 이루는 각도마저 알 수 있습니다.

 

 

$\overrightarrow{DQ}\cdot \overrightarrow{AR}$의 최댓값을 구해볼까요?

 

마찬가지로 $\overrightarrow{DQ}\cdot \left ( \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MR} \right )$원의 중심을 경유하는 벡터로 바꿔줍니다.

 

$\overrightarrow{DQ}\cdot \overrightarrow{AM}$의 값부터 구해볼까요?

 

AM과 DQ사이의 각도를 알고 있으므로 두 벡터 사이의 각도가 $\cos{\frac{\pi }{3}}$임을 이용하여 내적을 진행해줍니다.

 

$$\overrightarrow{DQ}\cdot \overrightarrow{AM} = 2\times 2\sqrt{3}\times \frac{1}{2}=2\sqrt{3}$$

 

이번에는 $\overrightarrow{DQ}\cdot \overrightarrow{MR}$의 최댓값을 구해주면 되는데 결국 아까 했던것처럼 두 벡터가 평행을 이루면 최대가 되지 않을까요? 

 

$$\overrightarrow{DQ}\cdot \overrightarrow{MR}=\left | \overrightarrow{DQ}\right |\left | \overrightarrow{MR}\right |\times 1=2\sqrt{3}\times 2\times 1=4\sqrt{3}$$

 

즉 구해준 두 내적의 합이 최댓값이 되겠네요

 

$$M=2\sqrt{3}+4\sqrt{3}=6\sqrt{3}$$

 

$$M^2=36\times 3=108$$

 

정답은 108이 되시겠습니다. 사실 30번 치고는 매우 쉬운 문제였지만 벡터는 하면 할 수록 쉬워집니다. 어차피 문제의 전개 방식이 거의 유사하기 때문이에요