[241130] 평면벡터의 최댓값 (정답률 13%)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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[ 풀이 과정 ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step1 ) 문제에서 주어진 상황 그리기 

 

한 변의 길이가 4인 정삼각형의 각 변을 1:3으로 내분하는 점들을 그려줍니다. $\overline{AB}$를 1:3으로 내분하는 점을 D라고 했으므로 $\overline{AD}:\overline{DB}=1:3$, $\overline{BC}$를 1:3으로 내분하는 점을 E라고 했으므로 $\overline{BE}:\overline{EC}=1:3$, $\overline{CA}$를 1:3으로 내분하는 점을 F라고 했으므로 $\overline{CF}:\overline{FA}=1:3$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 2) 조건 (가), (나) 해석

 

일단 조건 (가)를 통하여 각 점 D,E,F를 중심으로 하고 반지름이 1인 원을 그려줍니다. 각 점을 중심으로 하는 원 위의 점이 각각 P,Q,R이 되는 것입니다.

 

(나) 조건 역시 해석하기가 어렵지 않습니다. 결국 문제에서는 $\left |  \overrightarrow{AX}\right |$가 최대가 되는 상황을 구하라고 했으므로 벡터들을 전부 원의 중심을 경유하게 끔 바꿔주면 됩니다.

 

$\overrightarrow{AX}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{QC}+\overrightarrow{RA}$ 

 

$\overrightarrow{AX}=\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{QE}+\overrightarrow{RF}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{FA}$

 

 

$\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{FA}=\overrightarrow{0}$

위의 식에서 3개의 벡터를 더한 결과는 영벡터가 됩니다. 벡터들을 전부 더한 결과 시점과 종점이 동일하기 때문이죠.

 

 

$\overrightarrow{AX}=\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{QE}+\overrightarrow{RF}$

결국 다음 벡터의 합이 최대가되는 상황이 바로 $\left |  \overrightarrow{AX}\right |$가 최대가 되는 상황입니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

$\overrightarrow{PD}$, $\overrightarrow{QE}$, $\overrightarrow{RF}$는 전부 크기가 1이고 방향이 자유자재인 벡터이므로 모든 벡터들의 방향이 동일한 상황에서 최대의 크기를 가지겠죠? 즉 다음 상황이 $\left |  \overrightarrow{AX}\right |$가 최대가 되는 상황이 되겠습니다.

 

 

 

 

즉 다음 상황에서 $\triangle{PQR}$의 넓이를 구해주면 되는데 $\triangle{PQR}$을 x축 방향으로 1만큼 평행이동해주면 점 P,B,R은 전부 D,E,F와 일치하게 됩니다. 점들을 한꺼번에 평행이동 시켜줘도 넓이는 변하지 않으므로 상황을 다음과 같이 직관적으로 표현 해 줄 수 있겠습니다.

 

 

 

다음의 빨간 정삼각형의 넓이가 바로 $\triangle{PQR}=S$가 되는 상황입니다. $\triangle{PQR}$의 한 변의 길이를 k라고 가정합니다.

 

 

 

 

$k^2=9+1-6\cos{\frac{\pi }{3}}$

 

$k=\sqrt{7}$

 

정삼각형 $\triangle{PQR}$은 한 변의 길이가 $\sqrt{7}$인 정삼각형이므로 사인법칙을 이용하여 넓이를 구해 줄 수 있겠네요.

 

$S=\frac{1}{2}\times \sqrt{7}\times \sqrt{7}\times \frac{\sqrt{3}}{2}$

 

$S=\frac{7\sqrt{3}}{4}$

 

$16S^2=16\times \frac{49\times 3}{16}$

 

$16S^2=147$

 

정답은 147이 되겠습니다. 평면벡터 30번 킬러문제 치고는 난이도가 매우 쉬운 편에 속했던 문제였습니다.