[220930] 복잡한 평면벡터 해석 (정답률 7%)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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[ 풀이 과정 ] 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 1) 좌표평면 도입 및 조건 해석

 

점 P는 점 A를 중심으로 하고, 반지름이 1인 원 위의 점이며, 점 Q는 점 B를 중심으로 하고 반지름의 길이가 2인 원 위의 점입니다. 

점 A와 B의 좌표가 주어져 있으므로 두 원은 공통적으로 x축에 접하는 원이 됩니다. 

 

대충 다음과 같이 그림을 그려주시면 되겠습니다. 

 

 

$$ \overrightarrow{AP}\cdot  \overrightarrow{OC}\geq \frac{\sqrt{2}}{2}$$

또한 다음 조건을 동시에 만족해야 정확한 점 P의 위치들을 파악 할 수 있게 됩니다. 사실 $\overrightarrow{AP}$,  $\overrightarrow{OC}$두 벡터가 이루는 각과 관계있는 부등식이거든요? 

 

$\left |\overrightarrow{AP}\right |=1$, $\left |\overrightarrow{OC}\right |=1$

$\cos\theta \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$

즉 $\overrightarrow{AP}$, $\overrightarrow{OC}$두 벡터가 이루는 각의 크기가 $\frac{\pi }{4}$보다 같거나 작아야 하는 것이죠. ($0\leq \cos\theta \leq \pi  $)

 

 

 

즉 결론적으로 다음과 같이 가능한 점 P의 위치를 제한해버릴 수 있게 됩니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 2) $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AQ}$의 값이 최소인 점 P, Q 구하기

 

$$\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{BQ}$$

 

$\overrightarrow{AP}$는 이미 크기가 1이고 방향이 어느정도 정해졌으므로 $\overrightarrow{AQ}$를 다음과 같이 원의 중심인 B를 경유하게끔 바꿔줍니다.

 

이와 같이 식을 변형하게 되면, $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{BQ}$는 사실 $\overrightarrow{BQ}$의 크기가 일정하고 방향이 자유로우므로 점 P의 위치에 관계없이 Q를 이용하여 최소를 만들 수 있게 됩니다. 

 

$\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AB}$ 즉 다음 내적이 최소가 되는 상황만 생각해주면 되겠네요.

 

직관적 내적의 기하학적인 의미를 생각해본다면, AP에서부터 AB에 내린 수선의 발의 길이를 H라고 합시다. AH의 길이가 가장 짧거나, 선분 AB의 연장선을 그렸을 때, A의 뒤쪽에서 내린 AH 크기가 가장 커야 합니다. 

 

어차피 선분 AB의 뒷 쪽에 수선의 발은 내릴 수 없으며 점 P가 다음과 같이 존재해야만 AH의 길이가 가장 짧아지므로 $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AB}$의 최소를 만족시키는 점 P의 위치가 다음과 같이 확정됩니다.

 

 

 

이와 같은 상황에서 $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{BQ}$ 역시 최소를 만족해야 하므로 $\overrightarrow{AP}$와 $\overrightarrow{BQ}$가 서로 역벡터가 되어야합니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 3) 좌표를 중심으로 조건 해석하기

 

$\overrightarrow{BQ_0}$는 사실 이미 알고있는 벡터입니다. 하지만 $\overrightarrow{BX}$이건 많이 띠껍죠? $\overrightarrow{AX}$로 바꿔주면 굉장히 편해집니다. 왜나하면 점 X의 위치가 바껴도 $\overrightarrow{AX}$의 방향은 동일하고 크기만 변하는데 그 크기의 범위를 알고있기 때문입니다. 

 

$$\left ( \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AX} \right )\cdot \overrightarrow{BQ_0}\geq 1$$

 

$$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BQ_0}+\overrightarrow{AX}\cdot \overrightarrow{BQ_0}\geq 1$$

 

즉 다음과 같이 관계식을 바꿔준다면 $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BQ_0}$ 충분히 구할 수 있죠? $\overrightarrow{AX}\cdot \overrightarrow{BQ_0}$ 부등식을 이용하여 X의 범위를 구해 낼 수 있겠죠? 

 

$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BQ_0}$ 일단은 이 녀석부터 구해봅시다. 좌표를 이용한 내적을 하는 것이 좋겠습니다.

 

 

 

시점이 전부 다 B이므로 B를 원점으로 설정해주는 것이 편합니다. 

 

$$\overrightarrow{BA}=\left ( -3,-1 \right )$$

 

$$\overrightarrow{BQ_0}=\left ( -\sqrt{2},\sqrt{2} \right )$$

 

다음과 같이 벡터들의 성분을 표현 할 수 있게 되므로 내적을 진행하여 값을 구할 수 있겠네요.

 

$$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BQ_0}=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$$

 

다음과 같이 $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BQ_0}$의 값을 구해 주었으므로 부등식을 다음과 같이 바꿔 줄 수 있습니다.

 

$$2\sqrt{2}+\overrightarrow{AX}\cdot \overrightarrow{BQ_0}\geq 1$$

 

$$\overrightarrow{AX}\cdot \overrightarrow{BQ_0}\geq 1-2\sqrt{2}$$

 

$\overrightarrow{AX}\cdot \overrightarrow{BQ_0}$이 친구는 사실 서로 역벡터 관계인거죠? 그러므로 $\left | \overrightarrow{AX}\right |=k$ 벡터 AX의 크기를 k라는 미지수로 둔다면

 

$\overrightarrow{AX}\cdot \overrightarrow{BQ_0}=-2k$ 결국 다음을 만족하게 됩니다. 방향이 반대이며, $\left | \overrightarrow{BQ_0}\right |=2$이기 때문이죠.

 

$$-2k\geq 1-2\sqrt{2}$$

 

$$2k\leq  2\sqrt{2}-1$$

 

$$k\leq  \sqrt{2}-\frac{1}{2}$$

 

$$0\leq k\leq  \sqrt{2}-\frac{1}{2}$$

 

 

 

즉 가능한 점 X의 범위는 다음과 같이 한정됩니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 4) $\left | \overrightarrow{Q_0X}\right |^2$의 최댓값 구해내기

 

이제 점 Q_0 로부터 가장 멀리떨어져있는 점 X를 택하면 됩니다. (점 X의 자취는 황금 직선)

 

 

 

어차피 AX와 BQ는 서로 평행한 직선입니다. 

 

 

만약 이와 같이 아무데나 점 X를 찍었다고 가정해봅시다. 직각삼각형의 빗변의 길이가 QX의 길이가 될텐데 밑변은 어떤 X를 찍더라도 항상 동일하며 결국 직각삼각형의 높이에 비례하여 빗변이 커질 것이므로 결국 높이가 최대가 되는 상황이 최대입니다.

 

 

즉 다음과 같은 상황일때 높이가 최대가 되므로 QX 역시 최대가 됩니다.

 

반대로 다음과 같이 높이가 최소일 때 QX는 최소가 되겠죠.

 

 

즉 다음과 같은 점 X의 좌표를 구해내면 되겠습니다. 일단 AX의 기울기가 -1이라는 점을 이용하여 구해 낼 수 있겠습니다.

 

특수각의 비율관계를 이용하면 다음과 같이 나타낼 수 있겠습니다. 

 

 

$$X=\left ( -2-\frac{\sqrt{2}}{4},-2+\frac{\sqrt{2}}{4} \right )$$

 

점 B를 원점으로 가정했으므로 A좌표에서 x축 방향으로 $1-\frac{\sqrt{2}}{4}$만큼 더해주고, y축 방향으로 $1-\frac{\sqrt{2}}{4}$만큼 빼주면 X의 좌표를 구할 수 있습니다.

 

 

$\left | \overrightarrow{Q_0X}\right |^2$의 길이를 구해주면 되겠네요.

 

$$\left | \overrightarrow{XQ_0}\right |^2=\left ( 2+\frac{\sqrt{2}}{4}-\sqrt{2} \right )^2+\left ( 2-\frac{\sqrt{2}}{4}+\sqrt{2} \right )^2$$

 

$$\left | \overrightarrow{XQ_0}\right |^2=\left ( 2-\frac{3\sqrt{2}}{4} \right )^2+\left ( 2+\frac{3\sqrt{2}}{4} \right )^2$$

 

$$\left | \overrightarrow{XQ_0}\right |^2=2\left ( 4+\frac{9}{8} \right )$$

 

$$\left | \overrightarrow{XQ_0}\right |^2=\frac{41}{4}$$

 

 

 

$\frac{41}{4}=\frac{q}{p}$ 즉 정답은 45가 되겠네요.