[261030] 벡터 내적의 최대 최소 (정답률 11%)

 

 

 

 

 

 

 

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[ 발문 확인 ]

 

 

 

 

정보 1) 정사각형 ABCD의 한 변의 길이는 8입니다.

 

 

 

 

 

 

 

정보 2) 점 E의 위치를 벡터 관계식을 통해 주었습니다.

 

 

 

 

 

 

정보 3) 선분 BC를 지름으로 하는 원 위를 움직이는 점 P가 다음 조건을 만족합니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AE와 AQ의 내적값의 최대 최소를 구하고 더한 뒤 제곱하는 것이 우리의 목표입니다.

 

 

 

 

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[ 풀이 과정 ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 1) 점 E의 위치 특정하기

 

점 E의 위치를 특정하는 과정이 매우 쉬웠습니다.

 

 

벡터를 잘 이항하기만 하면 금방 점 E의 위치를 찾을 수 있습니다.

 

 

 

벡터 AB와 평행하고 크기가 선분 AB 길이의 절반인 4인 벡터가 바로 ED 벡터이므로 선분 ED는 AB와 평행하고 길이가 4인 직선이 됩니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 2) 내적의 성질을 중심으로 조건 해석

 

 

점 P는 BC를 지름으로 하는 원 위의 점입니다.

 

 

 

 

주어진 조건을 보면 알겠지만 점 Q의 위치를 벡터 AE와 AP의 내적값 부호를 기준으로 달라지게 됩니다. 즉 벡터 AE와 수직을 이루는 벡터를 찾아주어야합니다. 

 

 

 

 

 

선분 AE를 90도만큼 회전이동을 해 준다면 직각삼각형 ADE는 ABO와 완벽하게 일치하게 됩니다.

 

 

 

 

 즉 벡터 AE와 AO는 서로 수직인 벡터가 되겠네요.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

즉 그림에서 표현되는 빨간 직선을 기준으로 점 Q의 위치가 달라지게 되겠습니다.

 

점 P가 초록색 영역에 위치하게 되면 벡터 AE와 AP가 이루는 각도가 2분의 π보다 커지므로 내적값이 음수가 나오게 될 것이며

 

점 P가 파란색 영역에 위치하게 되면 벡터 AE와 AP가 이루는 각도가 2분의 π보다 작아지므로 내적값이 양수가 나오게 되기 때문이죠.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

본격적으로 조건 해석을 통해 점 Q의 위치를 특정해볼까요?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 3) 파란색 영역에서의 점 Q의 위치 파악

 

파란색 영역은 내적값이 양수인 부분이므로 다음 조건을 활용해주어야합니다. 

 

 

 

그림을 보면 알겠지만 선분 BC의 중점을 O로 두었죠? 

 

 

 

 

양 변을 2로 나눠 준 후 벡터의 뺄셈을 이용하여 이와 같이 표현 해 줄 수 있겠네요.

 

 

 

 

벡터를 이항하여 정리한다면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

 

 

 

 

 

벡터를 해석해본다면 빨간 직선을 기준선으로 삼아 오른 쪽 영역에서는 중심이 O이며 반지름의 길이가 2배, 즉 8인 원이 그려지게 됩니다. 보라색 영역이 점 Q의 집합인 셈 입니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 4) 초록색 영역에서의 점 Q의 위치 파악

 

아까와 똑같은 방법으로 백터를 해석해줍니다.

 

 

 

이번에는 BC를 지름으로 삼는 원의 반지름의 길이인 4의 2분의 3배인 6을 반지름으로 삼는 원이 그려지게 됩니다.

 

 

 

 

즉 보라색으로 색칠된 부분이 점 Q의 모든 집합이 되겠네요.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 5) 내적의 기하학적 정의를 중심으로 내적의 최대 최소 구하기

 

OA ⋅ OB의 기하학적 정의는 벡터의 종점인 A에서 선분 OB에 내린 수선의 발을 H라고 했을 때, OH와 OB의 곱입니다. 그림에서는 원 위의 어떤 한 점에서 AE에 내린 수선의 발의 길이가 최대가 되는 지점이 바로 내적의 최댓값이 될 수 밖에 없습니다. 

 

즉, 선분 AO와 평행한 직선이 원과 접하는 점이 바로 최댓값 Q의 좌표가 됩니다.

원 위의 어떤 점을 찍어도 이보다 AH의 길이가 길어 질 수 없기 때문이죠.

 

 

 

 

 

 

선분 AH와 AE의 길이를 곱해주면 내적값이 나오게 되는데 어차피 OQ와 AH는 평행하면서 길이가 같은 합동인 직선이죠. 즉 AH의 길이는 반지름의 길이인 8이 될 것이며, AE의 길이는 피타고라스 정리를 이용하시면 4루트5로 구해지게 됩니다.

 

 

 

내적의 최댓값은 이와 같이 구해지게 되겠군요.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

내적값의 최소는 똑같은 방식으로 왼 쪽 영역에서 AH의 길이의 최댓값을 구해주면 됩니다. 어차피 내적값이 음수였던 부분, 두 벡터가 이루는 각이 2분의 π 이상인 구간이므로 구해 준 내적값에 음수만 붙여주면 그것이 최솟값이 되겠습니다.

 

음의 최댓값이 곧 최솟값이 되기 때문이죠.

 

 

 

 

이와 같이 구해 준 두 내적의 최대 최소를 더해봅시다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

정답은 320이 나오겠네요.

 

 

 

 

 

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