[231129] 조건을 통한 점 P, Q의 위치 확정 (정답률 26%)

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

[ 발문 확인 ]

 

 

 

 

 

 

정보 1) 사다리꼴 ABCD의 정보입니다. 각과 길이를 주었으므로 사실 상 모든 변의 길이를 구해 낼 수 있겠습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

정보 2) 점 P, Q는 다음 세 가지 조건을 모두 만족하는 점입니다. 발문에서 최댓값을 구하라는 것이 아니므로 점 P, Q는 각각 하나의 점으로 확정된다는 것을 알고 갑시다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

두 점 P, Q의 정확한 위치를 찾은 후 벡터 CP와 DQ의 내적값을 구하는 것이 문제의 목표가 되겠습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

[ 풀이 과정 ]

 

 

 

Step 1) 등변 사다리꼴 ABCD 길이 표현

 

일단 등변 사다리꼴의 모든 각을 알고 있으니 모든 변의 길이를 알 수 있으므로 이와 같이 각 변들의 길이를 그림 상에 표현해 줍니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 2) 조건 (가) 해석

 

일단 첫 번째로 조건 (가)를 해석해줄 것입니다. 

 

 

 

양 변을 2로 나눠주게 된다면 벡터 AD + BP의 종점이 결국 선분 AC의 중점이 되어야 합니다. 

 

 

 

 

 

즉 AC의 중점을 M이라고 표현하게 된다면 이와 같이 벡터를 볼 수 있게 됩니다.

 

 

 

 

즉 벡터 AD만큼 간 뒤에 DM만큼 간 결과가 AM 벡터이므로, 벡터 DM은 벡터 BP와 상등입니다. 

 

 

 

 

결국 DM벡터는 AB벡터와 평행하며 그 길이가 절반인 벡터임을 알 수 있습니다. 

 

 

 

 

 

 

 

이와 같이 조건 (가)를 이용하여 점 P의 위치를 찾아 줄 수 있습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 3) 조건 (나) 해석

 

점 Q의 위치는 알 수 없습니다. 일반적으로 점의 위치를 알 수 없는 내적은 매우 까다롭습니다. 최대한 내적의 식을 변형하여서 알 고 있는 내적으로 처리해야합니다.

 

 

 

식을 이렇게 변형해주면 내적이 할 만 해집니다.

 

 

 

 

 

 

결국 벡터 AC와 AP를 내적하면 0이 되어버리기 때문이죠.

 

 

 

 

결국 벡터 AC와 AQ의 내적값이 6이라는 사실을 얻을 수 있습니다.

 

하지만 가장 큰 난관은 바로 점 Q의 위치를 아직도 모른다는 사실입니다. 이럴 때에는 일단 점 Q의 좌표를 미지수로 두고, A를 원점으로 두어서 성분을 이용한 내적을 활용해주면 됩니다. 어차피 시점은 둘 다 A로 고정이기 때문입니다.

 

 

 

점 A를 원점이라고 가정합시다.

 

 

 

 

점 C는 x축 방향으로 3만큼, y축 방향으로 -루트3만큼 옮겨진 점이므로 좌표를 다음과 같이 표현 해 줄 수 있습니다.

 

 

 

 

점 Q는 좌표를 모르므로 x, y로 두겠습니다. 기본적으로 같은 내적값을 만족하는 점 Q의 좌표가 하나로 고정되지 않고 무수히 많을겁니다. 

 

 

 

 

C와 Q의 좌표를 전부 구해냈으며 원점이 A이므로 성분을 이용하여 내적을 해줍니다.

 

 

 

이를 만족하는 x,y의 순서 쌍이 무수히 많을 것이므로 점 Q의 좌표를 일부러 x,y로 표현해주었습니다. x,y로 표현해준다면 사실 직선의 방정식임을 인지하기 매우 쉽기 때문이죠.

 

 

 

 

양 변을 루트3으로 나눈 뒤 적절히 이항하여 직선의 방정식을 구해줍니다. 이 직선 위에 존재하는 모든 점들이 전부 점 Q가 될 수 있는 것입니다.

 

 

 

 

우리는 A를 원점으로 두었으며, y절편은 -2루트3 이고, x절편은 2가 됩니다. 또한 기울기가 루트3이라는 것은 x축과 이루는 각도가 60도, 즉 선분 AB와 평행인 직선인 것이죠.

 

 

 

 

 

이를 이용하여 그림 상에 직선을 표현해보면 빨간 직선이 전부 점 Q의 자취인 것입니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 4) 조건 (다) 해석 

 

각 끼리의 관계가 주어져 있으므로 논증기하 실력이 부족하다면 여기에서 애를 먹었을 겁니다.

 

일단 점 Q의 위치는 모르니까 아무데나 점 Q를 찍어서 살펴봅시다.

 

 

 

 

 

 

 

결국 조건 (다)가 알려주는 것은 바로 BQA 와 PBQ 사이의 관계가 이와 같이 나타난다는 것입니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

그럼 위와 같이 각 QBA를 π - 2θ 로 표현할 수 있게 되며, 삼각형 ABQ의 내각의 합이 π가 되어야하므로 나머지 각 BAQ는 자동으로 θ가 되어야합니다.

 

 

 

 

 

 

즉 삼각형 BAQ는 이등변 삼각형이 되어야하므로, 선분 BQ의 길이가 2가 되게끔 Q를 잡으시면 되는 것이죠.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

점과 직선 사이의 거리는 최솟값이 아닌 이상 항상 2개의 쌍이 나오게 됩니다. 즉 나올 수 있는 점 Q의 위치 역시 두 가지가 되는데 첫 번째로는 다음과 같은 점 Q를 생각해 볼 수 있습니다. 

 

각 BQA의 두 배가 각 PBQ가 되므로 조건을 만족합니다. 

 

 

하지만 각 PBQ가 2분의 π보다 크므로 점 Q의 위치가 될 수 없습니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

다음으로 생각 해 볼 수 있는 점 Q의 위치는 다음과 같습니다. 점 A를 원점이라고 했을 때 빨간 직선의 y절편은 -2루트3 이며 점 B에서 내린 수선의 발이 직선 AQ를 정확히 이등분하므로 이등변삼각형이 됩니다. 

 

이번에는 각 PBQ가 2분의 π보다 작은 상황이므로 조건을 만족하는 점 Q가 이와 같이 확정되겠네요.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 5) 성분을 이용한 내적값 구해내기

 

 

마지막으로 CP와 DQ를 내적해주시면 되는데 A를 원점으로 가정했을 때 모든 점의 좌표를 쉽게 파악 할 수 있으므로 성분을 이용한 내적을 하는 것이 더욱 빠릅니다.

 

 

 

점 P에서 C의 좌표를 빼주면 되겠습니다.

 

점 P의 좌표는 점 B의 좌표인 (-1, -루트3) 의 2분의 3배가 되므로 쉽게 구해낼 수 있습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

벡터 DQ 역시 이와 같은 방식으로 Q에서 D의 좌표를 빼주면 구해 낼 수 있습니다.

 

 

 

 

D와 Q의 좌표를 구하는 것은 매우 쉽습니다. 

 

 

 

 

성분을 이용하여 내적해준다면 구하고자 했던 답은 12가 나오게 됩니다.

 

 

 

 

---

 

---