[230729] 벡터의 내적과 닮음비 (정답률 10%)

 

 

 

 

 

 

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[ 발문 확인 ]

 

 

 

정보 1) 매우매우 핵심적인 정보입니다. 기본적으로 AB를 지름으로 하는 원 위의 점이 있다면, 삼각형 ACB는 직각삼각형이 되므로 내적을 구할 때 각도에 관한 정보를 알고있는 것과 마찬가지입니다.

 

 

 

 

 

 

 

정보 2) 뭐 벡터들간의 관계식을 이용하여 평행을 찾으라는 것 같네요.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

평면 벡터 문제는 정보가 많이 없습니다. 그냥 관계식 대충 띡 던져놓고 알아서 내분점 벡터, 중점 벡터, 평행 조건, 벡터의 상등 등을 이용하여 문제를 해결하라는 유형이 많습니다. 

 

뭐 결국 k의 값을 구해 낸 뒤 벡터 AQ와 DP를 내적해서 k에 곱하라고 하네요.

 

 

 

 

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[ 풀이 과정 ]

 

 

 

 

 

 

Step 1) 내적을 통한 점 C, D의 위치 특정

 

점 A, B가 원의 지름이며, C, D가 원 위의 점이라는 사실이 굉장히 중요합니다.

 

 

원 위에 어떤 점 C, D를 잡더라도 항상 삼각형 ACB는 직각삼각형이 되기 때문입니다.

 

 

벡터의 내적을 기하학적으로 생각해본다면 벡터 AB에서 벡터 AC에 내린 수선의 발을 H라고 했을 때, AH의 길이와 AC의 길이를 곱한 결과가 바로 내적입니다.

 

즉 이 상황에서 벡터 AB와 AC를 내적해준다면 벡터 AB에서 벡터 AC에 내린 수선의 발이 점 C가 되므로 벡터 AC의 크기의 제곱이 내적의 결과가 되기 때문이죠.

 

 

 

 

 

즉 점 C가 위치 할 수 있는 곳은 이와 같은 점에서 원의 중심을 대칭으로 왼 쪽 위, 오른 쪽 위, 왼 쪽 아래, 오른 쪽 아래 총 네 군데에 존재할 수 있게 됩니다.

 

그냥 보기 편하도록 이와 같이 점 C를 설정해보겠습니다. 직각삼각형의 빗변 즉, 지름이 6이므로 선분 BC의 길이는 자동적으로 3이 됩니다.

 

 

 

벡터 AB와 AD의 내적 역시 동일하게 생각 해 줄 수 있겠습니다. 결국 AB에서 내린 수선의 발을 H라고 했을 때 벡터 AH가 벡터 AD와 동일하므로 선분 AD 제곱의 크기가 9라는 것이죠.

 

 

 

결과적으로 이와 같이 점 C와 D가 중심에 대하여 점대칭과 같은 모습을 띄겠죠?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 2) 벡터 관계식 해석 I

 

실수배 벡터가 주어져있다면 벡터의 평행을 이용해줍니다. 좌변의 벡터는 뺄셈 형태로 주어졌으며, 점 P의 위치를 모르므로 어떤 벡터인지 파악하기 힘들지만 결국 벡터 BC와 평행하다는 것을 이용해줍니다.

 

 

 

 

또한 그림에서 보면 알 수 있듯이 BC벡터와 DA벡터는 방향과 크기가 완전히 동일한 상등벡터입니다. 식에서 점 D를 시점으로 삼고있으므로 벡터 BC도 D를 시점으로 바꿔주면 뭔가 좋을 것 같습니다.

 

 

 

 

 

또한 양변에 3분의 2를 곱하여 DP벡터 앞의 계수를 1로 바꿔줍니다. 그 이유는 종점 P의 위치가 선분 AC 위를 움직이는 동점이므로, 계수가 1이 아니라면 정확한 위치를 파악하기 위해서 선분 AC 전체를 평행이동 해줘야 하므로 불편하기 떄문이죠.

 

반면에 벡터 AB는 어차피 크기를 알고 있고 방향도 알고 있는 벡터이므로 계수가 아무리 복잡해진다 하더라도 쉽게 파악이 가능하며, DA벡터는 어차피 계수에 미지수가 붙어져 있으므로 계수를 바꿔주어도 상관이 없습니다.

 

 

 

 

 

벡터 AB의 부호가 -이므로 +로 바꿔주기 위해 역벡터인 BA로 바꿔주었습니다. 

 

 

 

이와 같이 바꿔준다면 벡터를 해석하는데 매우 편해집니다. P는 AC 위의 점이며, DP와 BA의 합벡터는 벡터 DA와 평행하며,

3분의 2 벡터 BA의 크기는 6에 3분의 2를 곱한 4가 되기 때문이죠.

 

 

 

또한 삼각형 ADB와 TAP가 서로 합동이라는 사실을 알 수 있습니다. 닮음비가 3 : 2 이므로 선분 AT의 길이는 2가 됩니다.

 

 

즉 3분의 2k DA벡터의 종점인 T가 벡터 DA의 3분의 5배라는 사실을 알았으므로 이와 같이 표현 해 줄 수 있겠으며

 

 

방향과 크기가 전부 같아야 상등한 벡터이므로 계수가 같아야겠죠? 이와 같이 k의 값을 구해냈습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 3) 좌표평면을 중심으로 관계식 이용 II 

 

선분 AC를 움직이는 점 Q에 대하여 이와 같은 내적 식을 만족한다고 합니다.

 

우리는 원에 내접하는 사각형이 직사각형임을 알고있잖아요? 결국 좌표평면 위에서 표현하기 매우 쉬운 도형이며, 심지어 점 Q의 위치도 선분 AC 위를 움직입니다.

 

 

 

 

 

좌표평면 입갤 ㅋㅋ

이와 같이 좌표 평면을 도입한 뒤 원점을 그냥 A로 설정해버린다면 다음과 같이 표현 해 줄 수 있습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

점 Q는 위치는 모르지만 결국 AC 위의 점 이라고 했으므로 이와같이 미지수인 t로 잡은 후 t의 범위만 표시해주면 아무런 문제가 없습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

이제 그냥 성분을 이용하여 내적해주면 되겠죠?

 

 

 

 

 

 

 

이차방정식을 해결해주면 t의 값은 루트 3 혹은 2루트 3이 됩니다.

 

 

 

하지만 그림 상에서 점 P의 위치가 2루트3이지 않나요? 문제에서 '서로 다른 두 점 P, Q' 라고 언급했으므로

자동적으로 t의 값은 루트3이 되겠죠  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 4) 평면벡터의 내적 연산

 

 

모든 점의 좌표를 알고있으므로, 성분을 통한 내적을 하는 것이 매우 유리하겠죠?

 

 

 

 

k의 2k = 5였으므로 6k = 15 정답은 15가 되겠습니다.

 

 

 

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