[221028] 삼각형의 넓이비와 벡터의 평행 (정답률 36%)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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[ 풀이 과정 ]

 

 

 

 

 

 

 

Step 1) (가) 조건 해석 

 

어차피 비율 관계를 묻고있는 문제입니다. 결국 변의 길이는 계산하기 쉬운 상수로 둬도 답은 똑같을겁니다. 아무런 지장이 없다는 것이죠. 그러므로 벡터의 길이를 이와 같이 $\left |  \overrightarrow{PC}\right |=1$ 시원하게 정해줍니다.  

 

$\left |  \overrightarrow{PA}\right |=3$ 당연히 PA의 길이는 3이 되겠죠? 이제 $ \overrightarrow{PA}$와 $ \overrightarrow{PC}가 수직을 이루도록 적당하게 그림을 그려 줍니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 2) 조건 (나) 해석 

 

조건에 담긴 뜻 자체가 $\overrightarrow{PB}$와 $\overrightarrow{PC}$가 이루는 각도가 135도라는 의미입니다. 내적 공식을 생각하시면 편하죠.

 

$$\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PC}=\left | \overrightarrow{PB}\right |\left | \overrightarrow{PC}\right |\cos\theta $$ 여기에서 $\cos\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$이므로 135도 각도를 이루면 되겠네요.

 

또한 $\left |  \overrightarrow{PC}\right |=1$ 이라고 정의했으므로 등식의 양변을 $\left |  \overrightarrow{PC}\right |$으로 나눠준다면 $\frac{\sqrt{2}}{2}\left | \overrightarrow{PB}\right |=2$ 즉, $\left | \overrightarrow{PB}\right |=2\sqrt2$라는 사실을 알 수 있습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

Step 3) 넓이 비율 구하기 

 

A,B,C의 좌표를 전부 알고 있으므로 AB, BC, AC의 길이를 전부 알 수 있습니다. 

 

 

문제에서는 AD와 PD 사이의 비율이 얼마인지를 물어보고 있으므로 전체삼각형 ABC의 넓이와 BPC의 넓이 사이의 비율을 구해주면 되겠네요. 밑변이 동일하게 높이 사이의 비율이 AD와 PD 사이의 비율일 테니까요. 

 

삼각형 넓이를 구하는 방법은 2가지가 있는데 코사인법칙을 통해 각 BAC를 구해낸 뒤 사인으로 넓이를 구하는 공식을 두 번 사용하는겁니다. 어차피 각 BPC는 135도임을 알기 때문이죠.

 

하지만 PB, PA, PC의 길이를 전부 알고 있으며, BPA의 각도 역시 135도인걸 알고 있으므로 이를 이용하여 사인법칙을 각각 사용한 뒤 구해내는 것이 훨씬 빠르죠.

 

 

 

사실 APC의 넓이는 그냥 알려준거나 마찬가지죠? 

 

 

$$\triangle APB=\frac{1}{2}\times 3\times2\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}=3$$

$$\triangle BPC=\frac{1}{2}\times 1\times2\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}=1$$

$$\triangle ABC=3+1+\frac{3}{2}=\frac{11}{2}$$

 

$$AD:PD=\triangle ABC:\triangle BPC=\frac{11}{2}:1$$

 

$$\overrightarrow{AD}=\frac{11}{2}\overrightarrow{PD}$$ 

 

정답은 $\frac{11}{2}$이 되시겠지요? 이딴게 28번?