[261020] 지수함수와 직선의 교점 개수 파악 (정답률 16%)

2025년 고3 10월 모의고사 20번

 

처음 봤을 때에는 많이 당황스러웠던 문제입니다. 하지만 문제에서 주어진 조건들을 잘 해석하고 이해한다면 너무나 어이없을 정도로 쉽게 답이 나와버립니다  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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f(x)는 실수 전체의 집합에서 최솟값을 갖는다는 정보를 주었습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

기본적으로 x < -2 인 구간에서는 y = 7이라는 점근선을 가지게 되며 실수 전체 집합에서 최솟값이 정의되지 않습니다. (무한히 감소하는 감소함수이므로)

 

x가 -2보다 큰 구간에서는 .y = 10을 점근선으로 가지는 아래에서 위로 올라오는 함수의 개형을 가지게 됩니다. 

 

x = -2에서 함숫값이 7보다 같거나 작아야 실수 전체 집합에서 최솟값이 정의가 되겠죠?

 

 

 

 

 

2^a라는 문자가 자주 등장하므로 2^a = k로 치환하겠습니다. 

 

즉 최솟값이 정의되기 위해서는 10-4k가 7보다 같거나 작아야하며, 10-4k가 7보다 같거나 작은 경우, 10-4k가 실수 전체 범위에서의 f(x)의 최솟값이 됩니다.

 

 

 

 

문제에서 요구하는 g(t) = 2를 만족시키는 t를 구해볼까요?

 

 

 

 

약간의 식 변형을 통해 직선의 방정식을 우리에게 친숙한 형태로 바꿔주었습니다. 기울기가 -k분의 1 이고 (t, 0) 을 지나는 직선을 함수에 그려보겠습니다.

 

참고로 k의 범위는 3분의 4보다는 항상 커야하므로 위 직선의 기울기는 항상 음수가 되겠습니다.

 

 

이런식으로 변수 t가 바뀜에 따라 함수와의 교점이 2개인 조건을 만족하는 k의 값의 범위가 정해지게 됩니다. 

 

중요한 점은 t의 최솟값이 함수 f(x)의 최솟값과 같도록 해야합니다. 

 

 

 

 

위를 만족하기 위해서는 이런 식으로 함수가 그려져야 하는데 문제점은 g(t) = 2가 되도록 하는 t의 최솟값이 f(x)의 최솟값과 동일하지 않게 됩니다.

 

왜냐하면 f(x)의 최솟값인 (10-4k) 보다 작은 t의 값을 지닌 초록 직선 역시 두 점에서 만나며 조건을 만족하기 때문입니다. 

 

 

즉 g(t) = 2 에서 t = 10-4k 이라는 f(x)의 최솟값을 가지기 위해서는 위와 같이 두 점에서 만날 수 있는 한계점에 위치해있어야합니다. 이러한 상황에서는 t의 값이 10-4k 보다 아주 살짝만 작아져도 교점이 하나밖에 생기지 않아 g(t) = 2를 만족시킬 수 없기 때문입니다.

 

 

 

즉 위의 직선이 (-2, 10-4k) 를 지나면 되는 것입니다.

 

 

 

 

 

 

2^a는 3분의 4보다 커야하는데, 2와 2분의 3 둘 다 조건을 만족하므로 위의 두 수만이 조건을 만족하는 2^a의 값이 되겠습니다. 

 

둘을 곱하면 3이므로 정답은 3이 되겠죠?

 

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