이런 지수로그가 섞여있는 함수와 직선의 교점을 통해 도형의 넓이를 구하는 문제는 사실 매우 빈번하게 출제되는 유형입니다. 로그와 지수함수의 개념을 잘 이해하고 있는지 물어보기 적합한 문제이기 때문입니다.
위 문제의 키 포인트는 바로 직선의 기울기가 -1 이라는 점과 선분 BC의 길이가 2루트2라는 점입니다.
선분 BC를 빗변으로 하는 직각삼각형을 만들어봅시다. 결국 선분 BC는 기울기가 -1인 직선이므로 x좌표와 y좌표간의 차이가 1:1이라는 의미를 가지죠. 즉 그림 상의 직각삼각형은 밑변 (x좌표의 차이)과 높이 (y좌표의 차이)가 동일한 길이(차이)를 나타내고 있으므로 위의 직각삼각형은 직각이등변삼각형이 됩니다.
직각이등변삼각형은 1:1:루트2 라는 밑변 : 높이 : 빗변 비율을 만족합니다. 즉 밑변과 높이가 둘 다 2어야만 BC의 길이가 2루트2를 만족시킬 수 있습니다.
이는 위의 특수각을 지닌 직각삼각형의 비율관계를 모르는 경우에도 밑변과 높이가 동일하다는 정보를 활용하여 밑변과 높이를 미지수인 t로 둔 뒤 피타고라스 정리를 활용해도 구해낼 수 있습니다.
길이인 t는 0보다 큰 양수이므로 2가 되겠습니다.
이제 우리는 x좌표의 차이가 2임을 알고있으니 점 C를 α라는 미지수로 두고, 점 B를 α+2로 표현이 가능해집니다.
이제 선분 AB의 길이가 8이라는 조건을 활용해줍시다.
선분 AB는 x좌표가 둘 다 α+2 로 동일하므로, A와 B의 y좌표의 차이인 높이가 8이 되겠습니다. B와 C의 y좌표의 차이인 높이 차이는 2 이므로 점 A와 C의 y좌표의 차이가 6이라는 사실 또한 알아 낼 수 있습니다.
점 A와 점 C의 y좌표의 차이가 6이라는 점과, 두 점의 x좌표의 차이가 2라는 점을 이용하여 α의 값을 쉽게 구해 낼 수 있습니다.
α = 2이므로 k = α+2 = 4, 즉 k = 4가 됩니다.
정보를 이용하여 이와 같이 점 ABC의 좌표를 구해주었습니다. 이제 D의 좌표만 구해주면 되겠습니다. 점 D는 y좌표가 0이므로 D의 x좌표를 찾기 위해서는 a의 값을 찾아야 합니다.
로그함수 위의 점인 C를 통해 a의 값을 찾아봅시다. log2의 2 = 1이 되므로 a = 2가 되겠습니다.
log2의 1은 0이므로 진수가 1이 되기 위해서는 점 D의 x좌표는 3이어야 합니다.
모든 좌표를 깔끔하게 구해냈으므로 이제 넓이를 구해주면 됩니다.
평행사변형 넓이공식을 쓰셔도 되지만 저는 삼각형 ABC와 삼각형 BCD의 넓이를 더하는 방식으로 사각형 ABCD의 넓이를 구하겠습니다.
삼각형 ABC는 밑변이 8, 높이가 2인 삼각형이므로 넓이는 8이 되며, 삼각형 BCD는 밑변이 루트2, 높이가 2루트2인 직각삼각형이므로 넓이는 2가 됩니다. 즉 8+2 = 10이 사각형 ABCD의 넓이가 되겠습니다.
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