[240721] 지수함수의 기하적 성질 활용 (정답률 14%)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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지수함수와 직선 사이의 교점인 A,B를 각 각 α와 β로 둔다면 A,B 두 점은 3x = y 위의 점이므로

 

A (α, 3α)

B (β, 3β)

 

이처럼 표현이 가능해집니다. 

 

 

 

 

 

 

 

점 C는 y축 위의 점이므로 x 좌표는 0이 되겠으며, 점 B를 지나는 직선이고 3x와 직각을 이루는 직선이니 기울기가 사실 상 주어진것과 마찬가지입니다. 그러므로 직선 CA의 방정식을 구해줄 수 있고 구해준 방정식의 x에 0을 대입하여 y절편을 구해줄 수 있게 됩니다.

 

 

 

 

 

직선의 방정식입니다. y절편은 x에 0을 대입한 결과이므로 점 C의 좌표를 구해 줄 수 있게 됩니다.

 

 

 

  

점과 점 사이의 거리공식을 이용하여 선분 BC와 AB의 길이를 α, β로 표현이 가능해집니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

선분 AB와 BC의 길이를 각각 구해주었으며, 선분 BC는 직각삼각형 ABC의 높이이고, 선분 AB는 직각삼각형 ABC의 밑변이므로 AB와 BC를 곱한 결과가 ABC 넓이의 2배인 40이 되어야합니다.

 

 

 

위의 식을 잘 정리해주면 β(β- α) = 12라는 식을 얻을 수 있습니다. 미지수가 2개이기 때문에 α와 β를 구해주기 까다로운 모습입니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

아직 이용한 적 없는 조건인 점 D가 직선 CA의 5:3 외분점이라는 조건을 이용해줍니다. 

 

선분 CD의 길이를 5k라고 둔다면, 5:3 비율으로 외분하므로 선분 AD의 길이는 3k, 나머지 선분 CA의 길이를 2k라고 둘 수 있게 됩니다. 

 

OCD라는 직각삼각형에서 AC와 AD라는 빗변의 길이 비율이 2 : 3 비율이라는 것을 알 수 있습니다. 빗변이 2 : 3 비율이라면 높이와 밑변 역시 2 : 3 비율을 전부 만족하게 됩니다.

 

 

 

점 C와 A의 y좌표의 비율 역시 위와 같이 표현할 수 있게 됩니다. 

 

 

 

α, β간의 비율관계를 얻었으므로 이제 위에서 구한 식에 대입하여 정리해봅시다.

 

 

 

 

점 A와 B의 좌표를 구했으므로 이제 m과 n의 값을 구해봅시다.

 

A (4, 12)

B (6, 18)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m+n = 13이 나오겠네요.

 

 

desmos 사이트를 통해 그린 그림입니다. 정답은 13 !

 

 

 

 

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