[241021] 유리함수와 로그함수의 교점을 이용한 추론 문제 (정답률 9%)

2024년도 고3 10월 모의고사 21번

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

풀이 과정

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분리 함수를 보는데 벌써부터 막막합니다. 일단은 무작정 그리기보단 주어진 조건을 꼼꼼히 검토해가면서 어떻게 함수를 그려야 조건을 만족시킬 수 있을 지 차근차근 분석해봅시다.

 

 

 

 

 

먼저 (가) 조건입니다. f(x) = t의 실근의 개수를 g(t)라고 했고, 치역은 g(t)의 y값이니 그래프와 y = t가 만나는 점의 갯수가 실수 전체 범위에서 0,1,2 개 뿐이어야 한다는 이야기입니다.

 

 

이번에는 (나) 조건입니다. 만나는 점이 2개가 되도록 하는 t의 개수는 6개 뿐이라고 합니다. 

 

 

일단 a, b가 자연수라는 점 역시 잘 신경을 써주도록 합시다. 

 

 

 

 

 

일단 x가 2보다 작은 구간에서는 유리함수가 되겠네요. 함수가 정의되지 않는 대칭축은 x = 3이고, 3보다 작은 구간에서는 분모가 음수가 되니 아래에서 위를 향해 나아가는 유리 함수 모양이겠네요. 또한 아무리 분모가 커져도 결국 0보다 작아질 수 없으니 점근선은 a가 되겠습니다.

 

 

 

 대충 이런 느낌이겠죠? 일단 축이 어딘지는 모르겠지만 위 처럼 간단하게 그려줍시다.

 

x축을 임의로 설정해주겠습니다. 2보다 큰 구간에서는 절댓값이 씌워진 로그함수이니 축이 없다면 그림을 그릴 수 가 없기 때문입니다.

2보다 큰 구간에서 2, ㅣ5-bㅣ를 지나는 함수겠네요.

 

 

일단 첫 번째로 그릴 수 있는 로그 함수의 개형입니다. 하지만 위 그림처럼 그린다면 만나는 점의 개수가 0개, 1개, 2개까지도 OK이지만 중간에서 만나는 점이 3개가 되어버리며 가의 조건과 모순됩니다.

 

 

 

두 번째로 그릴 수 있는 개형입니다. 일단 y = t 와 만나는 점이 0, 1, 2개밖에 없으니 가의 조건은 확실하게 만족을 시켰습니다만 이번에는 (나) 의 조건으로 인해 어지러워집니다.

 

교점이 2개가 생기도록 하는 자연수 t의 개수가 6개여야 합니다.

 

 g(t) = 2가 되도록 하는 t는 a-1개가 됩니다. (a는 점근선이니 만나지 않음) 그렇다면 a가 7이 되어야하는데 그러면 함수를 나누는 부분에서 a-4가 3이 되며 a를 아무리 조작해봐도 만날 수 있는 점은 최대 3개밖에 되지 않게 됩니다.

 

 

 

 

 

 

 

이렇게 아무리 x축을 아래로 내려보아도 교점이 2개가 되는 점은 a-4와 a 사이의 a-3, a-2, a-1 3개밖에 되지 않으니 나의 조건을 만족할 수 없게 되겠죠.

 

 

 

 

 

 

아예 x축을 화끈하게 내려버리고 로그함수의 개형도 위처럼 화끈하게 만들어버리는 건 어떨까요? 어차피 x가 커짐에 따라 로그함수는 무한히 커지며 a-3, a-2, a-1에서 두 점에서 만날테고 아래에서는 2,3을 지나게 잘 꺾어서 각각 1,2,3에서 두 점에서 만나게 만들어 버리는거죠. 

 

그렇게 된다면 ㅣ5-bㅣ = 3이 되어야 하고 b는 8 혹은 2가 될텐데 절댓값이 없던 원래의 로그함수에서는 음수였던 부분이니 (꺾여올라왔기 때문) b는 8이 되겠습니다. 그렇다면 a와 b를 더한 결과가 최소가 되기 위해서는 a가 내려올 수 있는 최소한 내려와야 합니다.  

 

 

 

 

이런식으로 말이죠. 이 경우에서의 a-4는 3과 같으므로 a = 7이 되겠네요. 즉 우리가 구하고자 하는 a+b의 최솟값은 8+7인 15가 되겠습니다.