[231013] 지수 함수를 좌표간 관계를 통해 추론하기 (정답률 35%)

2023년 고3 10월 모의고사 13번

 

비주얼은 흉악하지만 익숙해지면 정말 국밥같은 문제입니다. 기울기만 잘 활용한다면 문제가 쉽게 풀리기 때문이죠. 기울기가 주어진 직선과의 교점을 물어보면 반드시 기울기를 잘 활용하시길 바랍니다. 솔직히 난이도는 어렵지 않았는데 귀찮은 문제였습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

풀이 과정

---

 

본문에서 말했듯이 기울기에 민감하게 반응하셨다면 그리 복잡하지 않았던 문제였습니다. 이차곡선을 풀던 기하의 짬이 있으므로 이정도는 t값을 아주 쉽게 특정이 가능하죠.

 

 

위의 직각삼각형에 집중해봅시다. 미지수가 t 하나밖에 없으니 피타고라스 정리를 이용한다면 미지수 t를 구할 수 있겠죠?

 

 

직각삼각형이니 우리는 피타고라스 정리를 통해 위의 식을 만들어 낼 수 있게 됩니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

아주 물 흐르듯 자연스럽게 t값을 구해 줄 수 있게 됩니다. t는 길이기 때문에 음수 혹은 0이 될 수 없으니 길이인 t는 2가 되겠네요.

 

 

처음에 보았던 삼각형의 정보를 위와 같이 구해줄 수 있게 됩니다. 점 P의 x좌표를 p로 잡고 문제를 풀어보겠습니다.

 

P와 Q의 y좌표간의 차이는 4이고 x좌표간의 차이는 2라는 점을 잘 활용해줍시다.

 

위처럼 잘 활용을 해줄게요. P에는 x값에 p를 대입해주고 Q에는 x값에 p+2를 대입해준 뒤, 더 위에있는 P의 y좌표에서 Q의 y좌표를 뺀 결과가 높이차이인 4가 되는거죠?

 

 

 

식을 잘 정리해준다면 위와 같은 식을 얻을 수 있습니다. 아직은 미지수가 2개나 되기 때문에 하나의 식을 더 만들어줘야하는데, Q와 R의 y좌표가 동일하다는 점을 이용해주도록 하겠습니다.

 

Q의 x좌표를 p+2로 두었으니, R의 x좌표는 5만큼 뒤로 간 p-3이 되겠죠? 둘 다 각 각 서로 다른 지수함수에 대입하여 식을 만들어주겠습니다.

 

 

위의 식을 잘 이항해준다면 두 번째 관계식을 얻을 수 있게 됩니다.

 

 

 

이제 두 개의 식을 연립할 준비가 완료되었네요.

 

 

 

 

서로 더해주고 서로 빼줍시다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

여기에서 p의 값이 1으로 특정되겠네요. 밑인 a가 1이 아닌 이상 a의 0제곱만이 1이기 때문이죠. 즉 p = 1이었습니다.

 

 

 

 

p가 1이었으므로 a의 값 역시 위처럼 쉽게 특정이 가능합니다. 이제 p와 a의 값을 전부 알았으니 k를 구해주면 되는데, -2x+k와 지수함수의 교점을 활용해줍시다. P와 Q 중 쉬워보이는 곳에 함숫값을 대입해주면 되는데 저는 P를 선택해주도록 하겠습니다.

 

 

 

 

 

 

 

점 P의 좌표를 알고 있으니 -2x+k라는 일차함수에 대입하면 성립을 하겠죠?

 

 

 

이제 답만 잘 내주면 되겠습니다.

 

 

정답은 2번이 되겠네요.

 

 

계산이 생각보다 귀찮아서 난이도가 있었다고 생각하는 문제였습니다.