[230321] 교점을 통한 지수, 로그함수의 및 특정 (정답률 16%)

2023년도 고3 3월 모의고사 21번

로그와 지수함수로 이루어진 기하학적 관계를 통해 로그함수 및 지수함수를 추론하는 문제입니다. 비슷한 유형의 문제가 많은데 그 중에서도 꽤나 어렵게 나온 문제입니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

풀이 과정

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문제에서 가장 중요한 포인트가 바로 이 부분입니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

일단은 위 그림에서 우리가 알고 있는 좌표들을 일단 파악해봅시다.

 

 

 

 

 

일단 위의 두 좌표는 너무나 당연한 사실이죠? 로그함수에 1을 대입해야 0이 되며 1,k를 지나고, 지수함수에 k를 대입하면 a^0이 되며 1이 나오기 때문이죠.

 

이제 C와 B의 좌표를 특정해야하는데, 미지수가 너무 많아서 특정이 쉽지 않습니다. y=k, x=k과의 교점을 통해 B와 C를 일단 설정해야합니다. 

 

 

 

 

 

 

점 B와 C를 자세히는 모르니 위와 같이 설정을 해 줍시다. 

 

 

결과적으로는 두 개의 식이 나오게 되는데, 이제 여기서 둘 중 하나를 로그에서 지수 혹은 지수에서 로그로 변환을 해주어야 합니다. 지수를 로그로 변환해주는 것이 낫겠습니다. 왜냐하면 두 번째 식의 양변에 로그를 취하면 아주 예쁜 결과가 나올 것 같거든요.

 

 

 

 

아주 예쁘죠? 이제 위 식을 첫 번째 식에 살짝 대입해준다면 알파와 베타간의 관계가 어느정도 나타날 것 같네요.

 

 

 

 

 

 

아직도 미지수가 3개나 되어서 딱히 뭘 할 수 없습니다.

 

하지만 알파를 이제 베타로 정리가 가능해지면서 위의 조건을 활용할 여지가 생기게 됩니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

첫 번째로는 삼각형 ACD의 넓이가 35임을 활용해주겠습니다. 

 

 

삼각형의 넓이에 2배를 한다면 높이와 밑변을 곱한 결과가 같아지니 위의 식을 만들어낼 수 있습니다.

 

 

두 번째로는 CD와 AB를 곱한 결과가 85임을 이용해줄게요. 이제 여기서 베타를 알파로 바꿔줄 수 있겠네요.

 

 

바로 이렇게 말이죠. 이제 위의 두 식을 나눠줄게요.

 

 

 

이제 약분 할 거 약분하고 나면

 

 

 

 

 

위와 같이 식이 정리가 됩니다.

 

 

 

 

이제 알파가 완벽히 k라는 하나의 미지수로 바뀌었으니 다시 식에 대입을 해봅시다.

 

 

 

 

양변에 10분의 7을 곱해줍시다.

 

 

 

k는 양수였으니 k = 8이 되겠네요. 아름답습니다.

 

 

 

이제 로그함수가 8, 11을 지난다는 것만 알아내면 되겠네요.

 

 

 

a와 k는 각각 4와 8이 되겠습니다. 둘을 더해주면 12!