[240312] 정적분으로 정의된 분리함수의 극댓값 구하기 (정답률 46%)

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

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풀이 과정
 
정적분으로 정의된 함수 + 분리 함수가 섞여있는 문제입니다. 기본적으로 f(x)는 구간이 두 개의 다항함수로 나뉘며 f(x)가 x = 0 에서 연속이므로 실수 전체 집합에서 연속인 함수가 되겠습니다.
 
문제에서 함수 g(x)의 극솟값의 x좌표가 2라는 정보를 주었는데 일단 g(x)라는 함수부터 알아봅시다.
 

 
f(x)의 한 부정적분을 F(x)라고 합시다. 
 
 

 
g(x)라는 정적분으로 정의된 함수를 위와 같이 정의해줄 수 있게 됩니다. 적분상수 c는 결국 두 함수를 빼는 과정에서 사라질 테이니 적분상수를 무시해도 되겠네요.
 
 

 
함수 g(x)는 x = 2에서 극솟값을 가진다고 합니다. 극값을 가지기 위해서는 x = 2에서의 미분계수가 0이 되어야하고, 0에서 짝수 제곱근을 가지지 않으면 되겠습니다.
 
 
 

 
g(x)의 도함수를 구하는 방법은 굉장히 간단합니다. F(-4)는 결국 변수인 x가 포함되지 않은 상수 취급이므로 미분하면 0이 되어버리기 때문입니다.
 
 

 
결과적으로 g'(x) = f(x)가 되어버리므로, g(2) = 0이면 되겠습니다. 어차피 0보다 큰 구간에서는 일차함수이므로 중근이 나올 수 없습니다.
 
 

 
f(2) = 6+a = 0이므로 a = -6 즉 a의 값을 구해냈습니다. 이제 극댓값을 구해주면 되겠습니다.
 
 

 
f(x)라는 함수는 g'(x)이며 함수가 이와 같이 생겼으니 함수를 그려봅시다.
 
 

함수는 이와같이 x = 2에서 0, x = -2에서 0이 되므로 2에서 극소, -2에서 극댓값을 가지게 되겠죠?
 
 

-4와 -2는 전부 0보다 작은 구간이므로 f(x)를 이와 같이 확정해줄 수 있습니다. (만약 위 끝이 0보다 크게 된다면 -4부터 0까지는 이차식을 적분하고, 0부터 위 끝까지는 일차식을 적분 한 후 더해주면 됨)
 
계산이 좀 귀찮다 느껴지시면 정적분의 평행이동 테크닉을 이용해봅시다.
 

 
x 대신 x-2를 대입하게 된다면 x대신 x-2가 대입되었으므로 적분 구간은 +2 만큼 더해지게 됩니다.
 

 
계산을 훨씬 빠르고 깔끔하게 가능하므로 적극 활용해줍시다. 이 문제는 의도적으로 정적분의 평행이동 테크닉을 활용한다면 계산량이 말도안되게 줄어드는 것을 보니 의도적으로 넣어논 것 같습니다.
 

 
 

 
x자리에 -2를 대입한 뒤 나온 값에 다시 마이너스를 곱해주면 되므로 굉장히 빠릅니다.
 

 
정답은 5번이 되겠네요 !