[210920] 절댓값이 포함된 함수의 교점 구하기 (정답률 21%)

2021년 고3 9월 모의고사 20번

 

아직도 절댓값을 보면 개장수 앞의 개 처럼 벌벌떠는 당신을 위한 문제입니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

풀이 과정

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사실 이렇게 절댓값이 포함되어있는 함수를 다루기 가장 좋은 방법은 분리함수로 이해하는 것 입니다. 분리함수와 논리를 펼치는 구조가 동일하거든요.

 

 

 

 

f(x)+x가 양수가 되는 구간

 

 

f(x)+x가 음수가 되는 구간

 

 

f(x)+x가 0이 되는 구간 세 구간으로 분리해서 함수의 개형이 각각 달라지게 됩니다. 언제 음수가 되고 언제 양수가 되는 지 한 번 조사해보도록 합시다.

 

 

 

주어진 함수에 따라 새로운 함수인 f(x)+x를 만들어줍시다. 그 후 x로 인수분해가 가능해보이니 가벼운 인수분해까지 들어가봅시다.

 

 

 

이차함수를 뭔가 인수분해를 하기에는 좀 어려울 것 같죠? 일단 x가 언제 음수가 되고 양수가 되는 지 아직 정보를 알 수 없으니 한 번 판별식으로 검사를 해볼까요?

 

 

판별식이 음수가 되네요. 즉 x가 유일한 실근이 됩니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

둘 중 하나의 개형을 가지게 될텐데 개형에 상관없이 어차피 f(x)+x 라는 함수는 음수 구간에서는 음수 값을 가지고, 양수 구간에서는 양수의 값을 가지는 것을 확인했으니 이제 상세하게 x = 0을 기준으로 구간을 나눠 줄 수 있게 되었습니다.

 

 

 

 

 

 

 

첫 번째로 x < 0인 경우입니다. 절댓값 안이 음수가 되며 음수를 곱하며 튀어나오므로, x가 음수인 구간에서 함수는 -7x라는 원점을 지나는 일차함수가 되겠습니다.

 

 

 

 

 

 

두 번째로 x > 0인 경우입니다. 절댓값 안이 양수이니 그냥 튀어나오며 계산을 해주면 x가 양수인 구간에서는 2f(x)-5x = k라는 함수가 되겠네요.

 

 

 

마지막으로 x = 0인 경우인데, 위에서 보았듯이 f(x) = 0을 지나므로 0, 0을 지나게 됩니다. 

 

 

 

 

 

즉 우리는 위의 분리함수와 y = k의 교점의 갯수가 4개가 되는 정수 k값을 구하면 되는 것입니다.

 

 

 

 

그럼 이제 본격적으로 2f(x) - 5x라는 함수에 대해 조사하러 갑시다.

 

 

 

일단은 0,0을 지난다는 점은 알겠고.. y = k와 만나는 점이 최대한 많기 위해서는 극값을 가져야겠습니다. 일단 삼차함수이니 y = k와 세 점에서 만나는 것이 최대겠네요.

 

극값을 구하기 위해 미분을 해줍시다.

 

 

우리가 알고싶었던 함수는 1에서 극댓값을 가지고 5에서 극솟값을 가지는 함수입니다.

 

 

 

 

 

desmos를 통해 그린 함수의 전체적인 개형입니다. y = k와 네 점에서 만나기 위해서는 극댓값보다 작은 정수값부터 1까지가 되겠네요. k의 값이 0부터는 세 점에서 만나고, -1부터는 두 점에서밖에 만나지 않기 때문입니다.

 

 

 

극댓값의 y 좌표는 7이므로 k는 7 미만의 정수가 되겠습니다. 

 

 

 

 

 

k = 1,2,3,4,5,6 이니 그냥 더하던지 아니면 등차수열 공식을 쓰시던지 편하신대로 하시면 됩니다. 

 

 

 

정답은 21이 되겠습니다.