[230614] 조건에 따른 정적분의 최댓값 구하기 (정답률 43%)

2023년 고3 6월 모의고사 14번

 

위치와 속도와 가속도의 관계 등 개념을 잘 알고있는지 물어보는 문제입니다. 사실 단어 자체들만 좀 물리스럽게 바뀐 것 일 뿐 평소에 여러분들이 배웠던 미적분과 똑같은 개념을 묻는 문제입니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

풀이 과정 

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일단 문제가 묻고 있는 바를 정확하게 알아냅시다. 시각은 음수가 될 수 없으니 당연히 v(t)의 정의역은 0 이상의 양수구간이 되겠고 시각 t = 0 일 때 출발한 후 운동 방향을 한 번만 바꾸도록 하는 a를 찾아내라고 합니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

케이스 i)

 

첫 번째 케이스입니다. 2a = 1일 때 를 살펴본다면 운동 방향이 바뀐다는 의미는 곧 v(t)의 함숫값의 부호가 바뀐다는 의미이고 운동 방향이 단 한 번만 바뀌어야하니 v(t)함수의 개형은 이런 모양을 가져야 한다는 것이죠. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

두 번째 케이스입니다. a = 1 인경우 v(t)의 개형이 위와 같아도 함숫값의 부호는 단 한 번만 바뀌게 되겠죠? 이제 둘 중 어떤게 최대의 위치 변화량을 가지는 지 따져보면 됩니다. 

 

시간이 0부터 2까지의 위치 변화량이라는 것은 위의 속도 함수를 0부터 2까지 정적분 한 값을 의미하니 둘 중 어떤 함수가 정적분의 값이 최대가 나올까요? 너무 당연하게도 두 번째 케이스에서 정적분의 값이 최대가 되지 않을까요?

 

 

위치 변화량이 최대가 되기위한 함수 v(t)는 위와 같이 확정이 되었습니다.

 

 

 

 

이제 위치의 변화량만 구해주면 됩니다. 위 함수를 0에서부터 2까지 정적분하면 되는거죠. 계산이 좀 너무하게 귀찮네요

 

 

 

 

 

으아아아아악 계산이 뭐 이리 복잡해 정답은 3번이 되겠습니다.