[230620] 정적분으로 정의된 함수를 통한 함수 추론 (정답률 12%)

2023년 고3 6월 모의고사 20번

 

정답률이 상당히 낮은 20번 문제입니다. 시험장에서 실제 문제를 풀 때의 긴장감으로 인해 생각보다 정답률이 굉장히 낮았던 문제입니다. 그래프 추론 능력이 뛰어난 학생이라면 주어진 조건을 잘 해석해서 너무나도 쉽게 문제를 풀었을겁니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

풀이 과정

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최고차항의 계수가 1인 이차함수를 적분했습니다. 정적분으로 정의된 함수에 의해 g(0) = 0이라는 정보를 하나 얻었네요.

 

 

 

 

 

 

 

위의 간단한 조건만 잘 해석을 하시면 바로 답이 나오게됩니다. 사실 상 문제의 핵심 중 핵심인 조건이죠.

 

x가 1보다 큰 모든 실수에 대하여 g(x)는 g(4)보다 커야 하고, ㅣg(x)ㅣ 역시 ㅣg(3)ㅣ보다 커야 한답니다. 하나하나 천천히 조건을 음미해봅시다.

 

 

 

 

 

 

위의 조건을 한 번 잘 들여다봅시다. 일단 g(x)라는 놈은 삼차함수잖아요? 1보다 큰 모든 실수 x에 대하여 g(4)보다 g(x)가 같거나 더 크다라는 말은 g(4)에서 극솟값을 가지면 되는거죠.

 

 

 

 

 

 

 

이렇게 말이에요. 4보다 큰 모든 구간에서는 g(4)보다 당연히 g(x)가 커지게 될 테고, x가 4보다 작은 범위에서는 함숫값이 g(4)보다 작은 구간이 나오긴 하지만 그 범위가 1보다 작은 곳에 위치해있다면 조건을 만족하는 것이죠

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

예를 들어 이렇게 다시 만나는 교점이 1보다 같거나 작게만 그러져도 조건을 만족시킬 수 있습니다. 위는 g(x)의 개형이므로, g(x)는 4에서 극값을 가진다라는 정보를 통해 이차함수 f(x)는 4에서 0이 되어야겠죠?

 

 

위의 조건을 통해 이차함수 f(x)의 한 근을 이미 알아냈습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

두 번째로 주어진 조건입니다. 양 변에 각 각 절댓값이 씌워져있는데 직관적으로 당연하게 g(3) = 0이 되어야합니다. 

 

 

 

g(3)이 만약 0이 아닌 양수거나 음수라면 모든 함숫값이 위처럼 두 개의 빨간 선 안에만 존재해야 하는데, 아무리 g(3)을 크게 잡더라도 언젠가는 무한대로 발산하면서 범위를 벗어나기 때문이죠. 

 

 

 

하지만 g(3)이 0인 경우에는 함숫값이 같은 것까지는 인정한다고 했으니 문제 없이 조건을 만족하게 되는것이죠.

 

그럼 g(3) = 0, f(4) = 0 두 조건을 통해 f(x)를 특정하러 가봅시다.

 

 

 

위의 식을 적분해주면 g(x)가 됩니다.

 

 

 

 

 

 

 

이제 g(3) = 0이라는 조건을 이용하여 α의 값이 뭔지 밝혀줍시다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

위와 같이 α의 값을 구해낼 수 있습니다. 이제 정답을 내기 위해 f(9)를 구해줍시다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

정답은 39가 되겠습니다.