[231020] 원시함수와 도함수간의 관계를 통한 함수 추론 (정답률 14%)

2023년 고3 10월 모의고사 20번

 

기본적으로 미분을 정말 잘 해야하고 적분의 성질이라던지 특성 역시 잘 알아야하며, 추론능력 또한 깊게 요구하는 문제입니다. 개인적으로 문제의 난이도와는 별개로 완성도가 높다고 생각하는 문제입니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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함수가 정말정말 더럽네요. f'(2) = 4 라는 조건을 이용하기 위해서는 양변을 미분해야 한다는 것 쯤은 당연하게 생각해 낼 수 있지만 위의 식을 전부 미분을 하기에는 굉장히 많은 절차가 필요합니다.

 

 

 

 

 

 

일단 우변을 위와 같이 분리시켜봅시다. 위의 적분 식은 t에 대해 적분을 하는 것이니 t를 제외한 모든 친구들은 상수 취급을 받기 때문에 x에 대한 식은 전부 밖으로 빼냅시다.

 

 

 

적분식을 하나 하나 천천히 변형해봅시다. 

 

참고로 x에 대입을 해보면 아시겠지만 위의 식은 x^2과 동일한 식입니다.

 

 

 

 

두 번째 식입니다. 상수 취급인 x만 앞으로 빼내서 곱해주었습니다.

 

세 번째 식입니다. 건들 필요가 딱히 없는 식입니다.

 

 

네 번째 식입니다. x를 적분하면 2분의 x^2이 되고 아래 끝이 0이기 때문에 그냥 2분의 x^2가 되기 때문에 2분의 x^2을 3f(x)에 곱해주었습니다.

 

위와 같이 네 개의 적분식을 전부 미분하기 편하게 바꿔주었습니다.

 

 

 

 

미분을 편하게 하기 위해 식 정리를 간단히 해주면 미분 준비 끝!

 

 

 

 

 

 

미분을 해준 결과입니다. 2분의 1이 좀 보기 싫으니 양변에 2를 곱해줍시다. 곱해주지 않아도 상관은 없지만 결국 f(x), f'(x)와 원시함수의 관계식을 통해 추론을 해주어야 하니 2를 곱하는 게 문제를 풀기가 좀 더 쉬워집니다. 

 

 

 

 

 

이제부터 추론 타임이 시작됩니다. 

 

 

 

두 개의 조건을 통해 함수를 추론해야하는데.. 일단 다항함수라고 했고 위의 식이 만족되어야 합니다. 그러므로 우리는 f(x)를 자연수 차수를 가진 다항함수라고 설정을 해주도록 합시다.

 

 

위의 식에 2x를 곱해야 하니 차수는 1만큼 오르고, 최고차항의 계수인 a에 2를 곱한 결과가 되겠죠?

 

 

이번에는 f(x)의 도함수를 추론해줄 차례입니다. 

 

 

최고차항의 계수에 차수인 n을 곱해주고 차수는 1만큼 내려가니 1을 빼주면 되겠죠?

 

 

이제 추론이 끝난 두 함수를 더해주면..

 

 

이제 위 함수를 우변과 비교를 해볼 차례입니다.

 

 

 

 

 

우변의 함수는 f(x)를 적분한 함수이므로 n+1을 분모에 깔고 차수를 n+1차로 올려주면 되겠죠?

 

 

 

 

 

 

 

 

양 변이 서로 같은 함수이니 최고차항의 계수와 차수 역시 당연히 동일하겠죠? 공통적으로 곱해져있던 x^(n+1)과 a를 약분해주고 비교를 해줍시다.

 

 

 

 

n은 자연수여야 하니 1이 되겠네요. 

 

그러므로 f(x)를 위와 같이 일차식으로 두고

 

 

 

f'(x)는 a라는 상수이기 때문에 a가 4라는 정보를 얻을 수 있습니다.

 

 

그러니 f(x)를 위와 같이 두고 식을 다시 써보겠습니다.

 

 

 

 

 

 

 

이제 우변의 함수도 다시 표현을 해주면

 

 

 

 

양 변은 항등식이기 때문에 계수 비교를 통해 b값을 정해주면 되겠습니다.

 

 

2b = 6b 를 만족해야 하니 b는 0이 아니면 안되겠네요. 그러므로 b는 0으로 확정이 되겠습니다.

 

 

 

 

구하려는 f(x) = 4x이므로 f(6) = 24가 되겠네요.