[230922] 곱의 미분법을 통한 함수 추론 (정답률 11%)

2023년 고3 모의고사 22번

 

곱의 미분법이 문제 해결에 아주 중요한 포인트가 되는 문제입니다. 곱의 미분법을 떠올린 학생들이었으면 별 어려움 없이 쉽게 풀어낼 수 있었을 것이라 생각합니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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일단 가 조건을 먼저 이용하여 f(x)를 특정해봅시다. 일단 가의 식에 1을 대입하면 좌변은 0이 되겠죠?

 

 

이를 통해 f(1)은 3이라는 정보를 얻을 수 있습니다. 이제 양변을 미분해봅시다.

 

 

 

 

 

 

양변을 미분한 결과를 통해 f'(x) = 4 라는 정보 또한 얻을 수 있습니다. 이전에 얻었던 f(1) = 3이라는 정보를 이용하여 f'(x) 적분을 통하여 f(x)를 특정해낼 수 있게 됩니다.

 

 

 

 

 

f(x)가 특정되었습니다. 이제 나의 조건을 활용해보러 갑시다.

 

 

 

 

 

 

 

 

위의 식을 보았을 때 곱의 미분법이 떠오르셔야 합니다.

 

 

F(x)G(x)라는 식을 미분한 결과가 바로 나의 식이 되기 때문이죠. 

 

 

 

 

즉 나의 식을 적분하게 되면 F(x)G(x)라는 식을 얻을 수 있게 됩니다.

 

 

 

 

 

f(x)를 다시 한 번 적분하게 되면 F(x) 식을 얻어낼 수 있으므로 다시 한 번 적분해주겠습니다. 이제 뭘 하면 되느냐? 바로 G(x)라는 함수를 가정하셔야합니다. 둘이 곱해서 4차 함수가 되어야 하므로 G(x)는 이차식이 되겠고 최고차항 계수가 곱해도 2로 유지되어야 하니 G(x)는 최고차항 계수가 1인 이차식이 되겠죠?

 

 

 

 

이와 같이 G(x)라는 이차식을 가정하고 둘이 곱해줍시다.

 

 

 

 

 

이제 위 식을 직접 전개 한 뒤 계수 비교법을 통해 함수를 특정하시면 됩니다. 이차식 두 개를 전개하는 그 과정이 귀찮지만, 이것만 전개하면 22번 문제의 답이 확실하게 나오니 이 정도 계산은 할 만 하지 않나요?

 

 

 

 

 

전개 결과입니다.

 

2a-1 = 1

k+2b-a = 0

ka-b = 1

 

세 개의 식을 연립하면

a = 1, 

k-b = 1

k+2b = 1

 

즉 a = 1, b = 0, k = 1이라는 결과가 나오네요.

 

 

우리가 구하려는 값이 G(3) - G(1) 이었으므로

 

 

 

그냥 잘 계산해주시면 답이 나오게 됩니다.