[230320] 정적분의 평행이동 활용법 (정답률 11%)

2023년 고3 3월 모의고사 20번

적분의 성질을 잘 이용해 문제를 해결하는 법입니다. 기본적으로 상당히 문제 난이도가 있는 함수 추론 문제입니다. 주어진 모든 조건을 적절히 활용해서 문제를 풀어봅시다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

풀이 과정

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가의 조건을 잘 활용해줍시다.  g'(0)의 값이 0으로 존재한다는 뜻은 g(x)의 0에서의 좌 미분계수와 우 미분계수가 모두 0으로 동일하다는 의미입니다.

 

 

위의 두 극한값이 모두 0으로서 존재한다는 의미입니다. 

 

 

f(p)와 f(-p)는 상수이니 무시한다면 이와 같이 f'(x)의 관계식을 도출해낼 수 있게 됩니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

도함수를 통해 최고차항의 계수가 1인 삼차함수라는 점을 이용, 추가적으로 f(0) = 1이라는 중요한 정보를 이용해 삼차함수를 어느정도 특정해낼 수 있게 됩니다.

 

 

 

 

이제 나 조건을 이용하여 p의 값을 특정해내면 되겠네요?

 

 

0부터 "양수" p까지 적분값이 20이라는 조건을 주었습니다. 

 

 

 

어차피 g(x)를 0부터 p까지 적분을 한다면 모두 x가 양수 구간이니 이와 같이 바꿔주어도 되겠네요.

 

 

 

 

 

 

여기서 잠깐 f(x)라는 친구를 그려봅시다. 대충 이와 같은 모습이겠죠? 이를 이용하여 f(x)-f(p) 의 모습을 그려줄 수 있습니다.

 

 

 

 

이와 같이 f(x)-f(p)의 모습을 잘 그려주었습니다. 이제 비율관계를 활용해 볼게요

 

 

변곡점이 0,1이므로 이와 같이 한칸 당 p만큼 이동하니 함수와 x축이 만나는 점은 p에서 접하고, -2p에서 만나겠네요.

 

 

 

 

 

이와같이 f(x)-f(p)를 두실 수 있으며, 우리가 구하고자 했던 f(x+p) - f(p)는 위의 함수를 x축 방향으로 p만큼 평행이동 한 것이므로 결국 우리가 구하고자 했던 적분값을 원하는대로 바꿔줄 수 있습니다.

 

 

 

 

이처럼 정적분의 아래끝과 위끝에 모두 p를 더해주면 되기 때문이죠. 아주 중요한 테크닉입니다. 이제 계산 지옥만 남았군요..

 

 

 

 

 

잘 계산해주면 됩니다.. 

 

 

 

p는 -2 혹은 2인데, p가 양수라는 조건을 주었으니 당연히 2겠죠?

 

 

 

예 p의 값까지 구해내주면서, f(x)가 완벽히 특정되었습니다.

 

5를 넣으면

 

125 - 60 + 1 = 66이니 정답은 66이 되겠습니다.