[220720] 정적분으로 정의된 함수 추론 (정답률 21%)

2022년 고3 7월 모의고사 20번

너무나 별 거 아니었던 20번 문제였습니다. 미분만 잘 해준다면 생각 이상으로 너무나 쉽게 문제를 해결 할 수 있죠.

수학 2를 제대로 공부했던 학생이라면 이딴게 20번? 싶을정도로 쉬운 문제입니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

풀이 과정

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가와 나의 조건을 동시에 활용하여 g'(x)의 개형을 그려주면 끝인 간단한 문제입니다.

 

기본적으로 g(x)는 이차함수를 적분한 함수에 x^2를 곱했으니 5차함수가 되겠습니다. 당연하게도 위의 식을 미분하게 되면 사차함수가 나오게 된다는 사실을 알 수 있죠.

 

(가) 조건에 의해 g(x)는 극값을 가지면 안되기 때문에 모든 구간에서 g'(x)는 0보다 같거나 커야하고, (나) 조건에 의해 실근이 0과 3에 존재하므로 g'(x)의 개형이 아래와 같이 그려지면 되겠습니다.

 

 

이미 문제가 끝났네요. g'(x) = kx^2(x-3)^2 이면 되겠네요 이제 g'(x)를 자세하게 구해볼까요?

 

 

 

이와 같이 g'(x)의 결과를 얻을 수 있고 f(x)는 최고차항의 계수가 3인 이차함수이니 이를 적분한 F(x)는 최고차항이 1인 삼차함수가 되겠네요.

 

 

 

 

g'(x)를 위에서 그렸던 개형에 따라 이렇게 둘 수 있습니다.

 

 

 

그 이후 g'(x)의 양변을 2x로 나눠주면 위와 같이 정적분으로 정의된 함수를 구할 수 있게 되죠. 구하려던게 0부터 3까지 정적분의 절댓값이므로, 양변을 한 번 더 미분을 해주며 f(x)를 특정해줍시다.

 

 

 

이제 적분값을 구해주면 되는데, f(x)가 양수가 되는 0부터 1까지는 위의 정적분으로 정의된 함수를 활용해서 구해줍시다.

 

 

그 이후 1부터 3까지 적분을 해주면 되는데, 어차피 1부터 3까지 적분을 한다는 뜻은 f(x)와 x축으로 둘러쌓인 부분의 넓이를 구하는 것이므로, 이차함수 넓이 공식을 이용해주도록 하죠

 

 

두 근의 거리인 2를 세제곱한 8에 최고차항계수를 6으로 나눈 2분의 1에 8을 곱해주면 4가 나오겠네요.

 

 

이제 두 적분값을 더해주면 8이 되겠습니다. 정답은 8!