[230620] 넓이를 통한 함수 추론 (정답률 12%)

2023년 6월 고3 모의고사 20번

 

이차함수의 넓이를 이용한 함수의 추론 문제입니다. 추론하기 어렵지 않은 조건을 통해 배운대로, 지시대로 행동하시면 어렵지 않게 문제를 해결 할 수 있으니 한 번 도전해보시기 바랍니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

풀이 과정

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이차함수 f(x)를 x부터 x+1 까지 적분한 결과가 이처럼 1 혹은 4에서 극소를 가지게 됩니다. 속에 들어있는 함수가 절댓값이 붙어 있으니 모든 구간에서 0보다 큰 양수가 되겠죠? 한 번 위 조건을 통해 함수의 개형을 추론해볼까요?

 

 

 

 

 

 

i) 첫 번째 케이스입니다. 이차함수가 x축 위에 떠있을 때 를 가정해봅시다. 여기에서 1의 간격만큼 적분을 한다고 생각을 해보죠.

 

 

 

이와 같이 모든 구간에서 1의 간격만큼을 적분을 하게 된다면 적분의 최솟값이 언제 나오게 되는지 충분히 추론이 가능합니다.

 

 

 

바로 위와 같이 대칭축을 기준으로 적분을 했을 때 그 넓이가 최소가 되겠죠. 이차함수는 대칭이기 때문에 오직 이 한 점에서만 적분값이 최소가 됩니다. 하지만 조건에서는 두 점에서 극솟값을 가진다고 하니 첫 번째 케이스는 아니게 됩니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ii) 두 번째 케이스인 축에 접하는 상황 역시 첫 번째 케이스와 크게 다르지 않습니다. 첫 번째 케이스와 동일하게 대칭축을 기준으로 같은 간격으로 적분한 결과에서만 최솟값을 지니게 됩니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

iii) 마지막 남은 세 번째 케이스입니다. 딱 봐도 적분값이 극소가 될 것 같은 후보가 두 군데나 있죠?

 

 

 

 

 

 위와 같이 잘 적분을 해본다면, 적분값이 극소가 되는 구간이 두 개 존재하게 되고,

두 개의 구간이 각각 1~2까지의 구간 (x = 1에서 극소를 가짐)

4~5까지의 구간 (x = 4에서 극소를 가짐) 이 되겠네요.

 

 

 

 

 

정리를 해 봅시다. 일단 두 근이 각각 1과 2 사이에 위치해있고, 4와 5 사이에 위치해있다는 정보는 알 수 있지만 각각의 근이 무엇인지 확정지을 수는 없습니다.

 

 

 

 

그러므로 1과 2 사이에 있는 실근을 알파라고 두고, 4와 5 사이에 있는 실근을 베타라고 두고 문제를 풀어봅시다.

 

 

최고차항 계수가 2인 이차함수이니 위와 같이 f(x)를 둘 수 있겠죠?

 

 

 

다시 문제로 돌아와 봅시다. 1과 4에서 "극소"임을 알려주었습니다. 극값의 위치를 알려주었다는 것은 양변을 미분한 뒤, g'(1)과 g'(4)가 0이라는 것을 이용하는 게 합리적인 판단이겠죠?

 

미분하기 전에 적분의 양 끝이 변수로 이루어져 있으니 변형을 해 봅시다.

 

 

 

 

이게 아주 중요한 포인트인데 절댓값을 해석해보면, 적분값이 양수가 되는 x부터 알파까지는 그냥 f(t)dt를 해주는 것이고 적분값이 음수가 되는 알파부터 x+1까지는 적분 결과가 음수이므로 -를 곱해준 결과인 -f(t)dt를 해줘야 합니다. 

 

일단 g'(1) = 0을 이용하기 위해서는 위의 적분을 사용해야합니다. 왜냐하면 위 식의 말 뜻 자체가 1부터 2까지 구간을 적분하는 것이기 때문에 당연히 1과 2 사이에 있는 알파를 거쳐가기 때문이죠.

 

 

 

 

 

최종적으로 위와 같이 인테그럴을 잘 바꿔준다면 이제 미분할 준비가 끝났습니다.

 

 

 

 

이제 위 식을 적극적으로 이용해줍시다.

 

 

 

 

 

위의 식을 잘 정리해준다면 이와 같은 알파 베타간의 관계식을 얻어 낼 수 있습니다.

 

 

이제 g'(4) = 0을 이용하면 되겠네요. 

 

 

이번에는 x = 4인 경우 즉, 4부터 5까지를 적분하니, 위의 그림대로 4에서 베타까지는 음수구간을 적분하니 -를 붙여주고, 베타에서 5까지는 양수구간을 적분하니 그대로 두시면 되겠습니다.

 

 

 

 

 

-를 없애주고 위끝 아래끝만 바꿔주었습니다. 이제 미분하고 g'(4) = 0을 이용해줍시다.

 

 

 

 

역시 위 식을 통해 알파와 베타간의 관계식을 하나 더 얻어낼 수 있고, 둘을 연립해서 구해낼 수 있게 됩니다. 

 

 

 

 

식을 잘 정리해주면 위와 같은 관계식을 하나 더 얻게 됩니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

이제 위의 두 식을 잘 연립하면 되는데, 결국 우리가 구할 f(0)이라는 놈은 잘 생각해보시면 

 

2 곱하기 알파 곱하기 베타입니다. 그러므로 우리의 목적은 알파와 베타를 따로 구하는 것 말고 알파 곱하기 베타를 통채로 한 번에 구하는게 더 빠르겠죠?

 

 

 

첫 번째 식을 두 번째 식과 뺀다면 이와 같은 결과가 나오고, 이를 활용하여 알파 곱하기 베타를 한 번에 구해줍시다.

 

 

우리가 원했던 알파 곱하기 베타는 이와 같으므로,

 

 

 

우리가 원하는 답은 13이 되겠습니다.