[230720] 절댓값이 포함된 함수 적분 (정답률 17%)

2023년 고3 7월 모의고사 20번

 

상당한 난이도의 문제입니다. 일단 그래프의 개형만 보더라도 뇌정지가 올 법한 문제네요. 하지만 위의 문제는 절댓값이 포함 된 함수를 다루는 방법을 익히기에 매우 좋은 문제입니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

풀이과정

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기울기가 -1인 직선이 위 함수와 네 점에서 만나기 위해서는 이와 같은 모습이 되어야합니다. 

 

 

 

 

파란색 직선과 초록색 직선 사이에 직선이 위치해야만 네 점에서 만날 수 있겠죠?

 

 

 

 

 

 

이와 같이 만나는 네 개의 점을 순서대로 x1, x2, x3, x4로 둡시다. 

 

 

 

위의 절댓값이 포함된 함수를 자세히 알아봅시다. 

 

f(x)는 (x^2-3)이 음수가 되는 구간인 -루트 3부터 루트3까지는 -(x-1)(x+3)이라는 최고차항 계수가 -1인 이차함수가 되고

(절댓값에 마이너스를 달고 나옴)

 

나머지 구간에서는 위처럼 일반적인 최고차항 계수가 1인 이차함수가 됩니다. 

 

 

 

 

 

 

 

위 사실을 정리해보면 x가 -루트 3보다 작고 루트3보다 큰 x1, x4는 -(x-1)(x+3)과 g(x)의 교점이 되겠고, 나머지 x2, x3은 x^2-2x-3과 g(x)의 교점이 되겠죠? 

 

 

 

 

x1과 x4의 x좌표는 위의 함숫값이 0이 되는 지점이 되겠습니다. x4 - x1 = 5라는 식을 활용하여 두 근을 구해보겠습니다.

 

 

근의 공식 활용!

 

 

x1은 당연히 x4보다 작은 구간에 위치해 있으므로, -인 경우를 x1으로, +인 경우를 x4으로 분배해주면 x1과 x4가 특정 되겠네요.

 

 

 

x1과 x4를 각각 특정했으니 이제 x4에서 x1을 뺀 결과가 5라는 정보를 이용하여 t의 값을 구해낼 수 있게 됩니다.

 

 

4t가 12가 되어야지 루트 25가 되며 5라는 값이 나오겠죠? 그러므로 t = 3이 확정되겠네요.

 

t = 3을 이용하여 이제 x3과 x4의 좌표를 알아내면 되겠습니다.

 

 

 

위의 이차방정식의 두 근이 x2, x3이 되겠으며

 

 

위의 이차방정식의 두 근은 x1, x4가 되겠네요.

 

두 식 모두 아주 쉽게 인수분해가 되며, 모두 정리해보자면

 

x1 = -2

x2 = -1

x3 = 0

x4 = 3

 

위처럼 모든 함숫값이 특정이 되는 것을 볼 수 있습니다. 결국 우리가 구해야 하는 것은 x3부터 x4 구간에서의 g(x)와 f(x)로 둘러쌓인 넓이였으니

 

0부터 루트 3까지는 -x^2-x를 적분하고 루트3부터 3까지는 x^2-x-6을 적분한 뒤 두 넓이를 더해주고 마이너스를 붙여주면 되겠습니다. (두 구간 모두 f(x)가 g(x)의 아래에 있기 때문에 음수 넓이로 적분됨)

 

 

 

이제 위 정적분만 잘 계산을 해준다면.. 정말 계산 귀찮네요. 여기까지 왔으면 이미 문제를 풀었다고 봐도 무방한데 말이죠.

 

 

계산 결과입니다. 4루트 3보다는 당연히 2분의 27이 더 크기 때문에 결과적으로는 2분의27 - 4루트3이 나오게 됩니다.

 

이제 정답만 내면 되겠습니다. 정답은 27x2 = 54가 되겠습니다.

 

 

 

절댓값이 포함된 함수를 다루는 문제가 익숙하지 않다보니 정답률이 생각보다 낮게 나온 감이 있습니다.