[220715] 절댓값이 포함된 함수의 미분가능성 (정답률 29%)

2022년 고3 7월 모의고사 공통 15번

문제의 비주얼이 상당히 흉측합니다. 흉측하지만 천천히 우리가 아는 지식을 이용한다면 쉽지않게 풀 수 있는 문제이니 겁먹지 말고최선을 다해봅시다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

풀이 과정

---

일단 함수 f(x)는 최고차항의 계수가 1인 이차함수라는 정보를 주었으며, g(x)라는 함수는 실수 전체에서 미분이 가능하다고 합니다. 
 
f(x+2)라는 함수를 그냥 합성함수의 미분을 이용해 구해내는 방법이 있지만, 공통에서는 합성함수 미분을 배우지 않으므로,  합성함수의 미분법 없이도 미분이 가능하게끔 문제를 주었겠죠?
 
일단 g(x)라는 함수가 0을 기준으로 이차함수와 사차함수로 분리되어있습니다. 두 함수가 모든 구간에서 미분이 가능하려면 0에서 연속이자 미분이 가능해야합니다. 
 
(2차식에 t를 곱해 3차식이 되는데 그걸 다시 적분하므로 4차!) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

첫 번째로는 0에서의 연속을 이용하여 이차함수의 값을 특정하겠습니다.
x가 0인 경우 위 식에 0을 넣어보면 알겠지만, 0부터 0까지 정적분을 하라는 의미이니 결국 그 값이 0이 되겠네요. 결국 f(x+2) 역시 실수 전체에서 연속, 나아가서 미분 가능하기 위해서는 f(0+2) = 0이라는 식을 만족해야합니다. 
 

 
미분이 가능하다면 양 쪽의 0에서의 미분 계수 또한 서로 같아져야하는데, 다행이도 정적분으로 정의된 함수이므로 미분이 아주 쉽게 가능합니다.
 
 

이렇게 위의 식을 미분하면 xf(x)라는 간단한 결과가 나오게 됩니다. 어차피 0에서의 함숫값은 등호가 쳐져있는 위의 함숫값이므로, 미분한 결과에 0을 넣어보면 g'(0) = 0이라는 결과를 얻게 됩니다. 
 
g(0) = 0
g'(0) = 0 
 
위 두 개의 식을 이용해서 주어진 이차함수를 아주 쉽게 특정할 수 있겠습니다.
 

 
f(2) = 0, f'(2) = 0 두 식을 이용하여 위처럼 극한값 식을 세워 줄 수 있습니다. 
 

 
최고차항이 1인 이차함수이므로, x-2의 제곱으로 함수가 특정됩니다. (x-2)라는 인수를 지워주고 2를 대입했을 때 0이 되어야하니 말입니다.
 

그렇다면 x대신 x+2를 대입해준다면 0보다 작은 쪽에 위치한 합성함수는 x^2이 되겠습니다. 
 
그렇다면 우리는 g(x)라는 함수를 이와 같이 표현해 줄 수 있습니다.
 

0보다 큰 구간에서는 매우 복잡해보이는 사차함수이지만 다행스럽게 결국 적분하면서 상수항들이 다 제거가 되기때문에 함수를 특정 할 수 있겠습니다.
 

0보다 큰 부분의 사차함수는 이와 같이 특정이 됩니다. 
 
 
 

우리에게 궁극적으로 요구하는 바는 위 함수가 미분가능하지 않은 실수의 개수를 1개가 되도록 만들라는 것입니다. 이 부분에서 우리에게 무엇을 요구하는지를 바로 캐치하셔야하는데. g(x)라는 함수의 개형을 직접 그리고 절댓값을 이용해 잘 접어올려서 미분이 불가능한 점을 하나만 만들라는 요구입니다. 일단 개형을 그려보아야겠죠?
 

위 사차함수를 미분할 필요도 없이 위의 사차함수의 도함수는 결국 xf(x)가 됩니다. 도함수를 통해  사차함수의 개형을 잘 생각해보면
 

 
0에서 극솟값을 가지고, 2에서 잠시 미분계수가 0이 되며 꿈틀하며 계속 증가하는 모습으로 나오겠네요?
 
 

도함수를 통해서 사차함수의 전체적인 개형을 추측해보면 이런 모양이 예상됩니다.
또한 0보다 작은 구간에서는 연속이면서 미분 가능하면서 x^2이라는 함수이므로 그냥 위 그림이 g(x)의 전체적인 개형이 되겠네요.
 
 
 

 
실제로 그래프를 그려주는 사이트인 desmos를 통해 그려본 사차함수의 모습입니다. 나름 비슷하게 나왔죠? 
 

0을 기준으로 구간을 각각 x^2과 사차함수로 나눠주었습니다.  
 

예상과 동일하게 이미 그려놓았던 g(x)와 개형이 매우 흡사하게 나왔습니다. 이제 여기서 y축을 잘 설정해서 꺾어올려서 미분이 불가능한 점이 하나만 나오게 만들어주면 됩니다. y = 0에서 꺾으면 개형에 변화를 주지 않겠죠? 그러니 y = 0에서 꺾어올리면 미분이 불가능한 점이 아예 없게 됩니다.
 
 

여기서 꺾어버린다면 미분이 불가능한 점이 2개가 나오게 되겠네요.. 장난은 이쯤하고 그냥 답 내버리겠습니다.
 
 
 
 

 너무 당연하게 여기서 꺾어줘야지 한 점에서만 미분이 불가능하겠죠.. x = 2에서는 미분계수가 0이어서 꺾어도 미분이 가능해지니 말입니다. 전체 함수 중 미분계수가 0인 점은 0과 2밖에 없는데 0에서는 꺾어도 미분이 전 구간에서 가능하니까 가능한 점은 x = 2밖에 없겠네요.
 

일단 a는 2가 되겠습니다. 근데 모든 a의 값을 구하라고 했으니까.. a값이 더 있다는 것이겠죠?
 

네 바로 0보다 작은 쪽인 x^에서도 g(a)를 만족시키는 a가 하나 있겠죠? 결국 우리는 사차함수에 2를 대입해서 함숫값을 구해내야합니다.
 

2를 대입해본다면... 4 - 3분의32 + 8이니까 12 - 3분의 32... 12는 3분의 36이니까.. 2를 대입하면 3분의 4가 나오네요.
 
a의 좌표는 x^2 = 3분의 4를 만족시키는 0보다 작은 x좌표이니까 
 

총 2개의 a값을 구해낼 수 있었습니다. 둘을 곱해주면.. - 3분의 4루트3 !
 
정답은 1번이 되겠습니다.